Studio carattere di una serie parametrica

[babayaga1]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere una serie parametrica con sviluppi di taylor ma non riesco a venirne fuori, qualcuno può darmi una mano?

Questa è la serie $ sum_(n = \1) ^(infty) n^2(cos(1/n)-1+sen(1/(2n^a))) $

Grazie a tutti anticipatamente

[otta96]

Mettiti a sviluppare con Taylor un po' di roba.

[pilloeffe]

Ciao babayaga,

Benvenuto/a sul forum!

Si ha:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} n^2[cos(1/n) - 1 + sin(1/(2n^a))] = sum_{n = 1}^{+\infty} [- frac{1 - cos(1/n)}{1/n^2} + frac{sin(1/(2n^a))}{1/n^2}] = $
$ = sum_{n = 1}^{+\infty} [- frac{1 - cos(1/n)}{1/n^2} + frac{1}{2}frac{sin(1/(2n^a))}{frac{1}{2n^2}}] $

Pertanto la serie proposta può convergere solo se $a = 2 $.

[otta96]

....e per $a=2$ converge.

[babayaga1]

"pilloeffe":Ciao babayaga,

Benvenuto/a sul forum!

Si ha:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} n^2[cos(1/n) - 1 + sin(1/(2n^a))] = sum_{n = 1}^{+\infty} [- frac{1 - cos(1/n)}{1/n^2} + frac{sin(1/(2n^a))}{1/n^2}] = $
$ = sum_{n = 1}^{+\infty} [- frac{1 - cos(1/n)}{1/n^2} + frac{1}{2}frac{sin(1/(2n^a))}{frac{1}{2n^2}}] $

Pertanto la serie proposta può convergere solo se $a = 2 $.

Grazie mille !!