Studio carattere di una serie

[malcon]

Ciao a tutti, riscrivo ancora per un altra conferma circa lo svolgimento in quanto non ho ne i risultati ne altro su questi esercizi quindi non ho come sapere se ho fatto bene o male. grazie ancora a chi mi aiutera

allora l'esercizio è il seguente, devo determinare sempre il carattere di questa serie:

$\sum_{n=1}^oo 2^n((n+2)^n/(n!))$ intanto non capisco perchè l'esercizio pone quella doppia parentesi, comunque ho risolto cosi:

applico il criterio del rapporto e quindi ho:

$\lim_{n \to \infty}2^(n+1)(n+3)^(n+1)/((n+1)!)*(n!)/(2^n(n+2)^n)$ la scrivo meglio per poter semplificare alcuni fattori e quindi scrivo:

$\lim_{n \to \infty}2*2^n((n+3)(n+3)^n)/((n+1)n!)*(n!)/(2^n(n+2)^n)$ ... semplificando ottengo:

$\lim_{n \to \infty}(2(n+3)(n+3)^n)/((n+1)(n+2)^n)$ ... a questo punto separo i prodotti e me li scrivo cosi:

$2\lim_{n \to \infty}(n+3)/(n+1)*((n+3)/(n+2))^n$ ora guardo che la frazione che è tutta elevata a $n$ la posso ricondurre al limite notevole del numero di nepero quindi raccolgo sopra e sotto $n$ e ottengo :

$2\lim_{n \to \infty}(n+3)/(n+1)*((1+3/n)/(1+2/n))^n$ quindi al numeratore ottengo che $(1+3/n)^n = e^3$ e al denominatore ottengo che $(1+2/n)^n=e^2$ e quindi mi viene una frazione del tipo $e^3/e^2 = e^(3-2)=e$ ... a questo punto mi rimane il limite cosi:

$2*e\lim_{n \to \infty}(n+3)/(n+1)$ che fa$ 2*e*1=2e$ ... essendo questo $!=1$ e $>1$ concludo dicendo che per il criterio del rapporto la serie diverge ... spero che sia giusto sia il procedimento che il calcolo

grazie a chi rispondera

[Seneca1]

Sì. Mi sembra corretto.