Studio carattere di una serie

[UbuntuRules]

Salve a tutti,

devo studiare il carattere di questa serie: $ sum_(n=1)^(oo )(1/n)/(1+2sin(n)cos(n)) $
che penso si possa riscrivere come: $ sum_(n=1)^(oo )(1)/(n+2nsin(n)cos(n)) $

controllata la condizione di convergenza la mia idea è di applicare il criterio della radice facendo $ lim_(n -> oo ) root(n)(1)/(root(n)(n+2nsinncosn)) $ che posso concludere tenda a zero.

La mia domanda è: è giusta questa soluzione?? mi sembra troppo facile così!

[Giuly191]

Secondo me tendeva a 0 anche prima senza troppi problemi..
Però non basta..

[Gi81]

$sum_(n=1)^(oo )(1/n) *1/(1+2sin(n)cos(n)) $

Tieni presente che $1+2sin(n)cos(n)=1+sin(2n)$, e si ha $0<1+sin(2n)<=1+1=2$

Quindi...

[UbuntuRules]

allora, se ho capito bene le risposte, potrei provare con un confronto asintotico con $1/n$ e ottenere una tendenza a un numero finito che indica la divergenza della mia serie di partenza. Giusto?

[Gi81]

Direi di sì

[gugo82]

Un principio generale della teoria delle serie è il seguente: Quando ci sono seni e coseni, è un gran casino (cit. Giuseppe Negro).

Tuttavia, questo non è il caso: infatti si ha [tex]$0< 1+2\sin n\cos n=1+\sin 2n\leq 2$[/tex], ergo l'addendo della tua serie è minorato da [tex]$\tfrac{1}{2n}$[/tex].


P.S.: Il criterio asintotico non è d'aiuto, a meno che non lo usi in una forma più debole.
Infatti il:

[tex]$\lim_n \frac{\frac{1}{n(1+\sin 2n)}}{\frac{1}{n}} =\lim_n \frac{1}{1+\sin 2n}$[/tex]

e l'ultimo limite non esiste.

[UbuntuRules]

Ringrazio tutti per l'aiuto! In particolare, gugo82 devo proprio dirti che sei un grande, mi hai già risolto un mare di problemi!