Studio carattere di due serie
Buonasera,
scusate il disturbo; volevo chiedervi se potete verificare la correttezza dei miei conti per stabilire il carattere di queste due serie.
Grazie in anticipo
scusate il disturbo; volevo chiedervi se potete verificare la correttezza dei miei conti per stabilire il carattere di queste due serie.
Grazie in anticipo
Risposte
Qualcuno ti aiuterà di certo. Io ti esorto tuttavia a scrivere il testo e lo svolgimento usando le formule ( come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html ).
anzitutto ti consiglio di imparare ad usare le formule per scrivere, cosi tutti possono caprie ... in ogni caso si sono corrette 
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln{(8^n+1)}};\qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{n^4+8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln{(8^n+1)}};\qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{n^4+8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3}
\end{align}
perdonate, ma avevo scritto TUTTO con le formule, passaggi compresi! Conosco latex quindi non ho problemi a scriverle in futuro, solamente che quando ho premuto "invia" si è solamente refreshata la pagina e ho perso tutto il codice scritto 
Ho anche installato un plugin per Chrome per recuperare i dati scritti nel form e per sbaglio cancellati, ma non ho risolto.
Comunque grazie per la risposta Noisemaker, gentilissimo
Il mio dubbio è per quanto riguarda le notazioni (esempio in che casi scrivere $a_n =$ invece che $a_n ~$. Le ho scritte correttamente? All'orale non vorrei essere impreciso.
Ho anche installato un plugin per Chrome per recuperare i dati scritti nel form e per sbaglio cancellati, ma non ho risolto.Comunque grazie per la risposta Noisemaker, gentilissimo
Il mio dubbio è per quanto riguarda le notazioni (esempio in che casi scrivere $a_n =$ invece che $a_n ~$. Le ho scritte correttamente? All'orale non vorrei essere impreciso.
be da quel punto di vista ci sarebbe da dire qualcosa: formalmente farei cosi:
data la serie
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln{(8^n+1)}}\end{align}
si osserva che è crtamente a termini positivi; considerando il termine generale si osserva che non è infinitesimo, e quindi la serie no può convergere, infatti
\begin{align}\lim_{n\to+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln{(8^n+1)}} \sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n\ln 8}=\frac{1}{ \ln 8};\end{align}
Per la seconda serie
\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3} \end{align}
si ossserva che è una serie a termini positivi, quindi possiamo applicare ad esempio, il criterio della radice: si ha:
\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3}}=\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2\ln \left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right) \right]\\
&\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}-1\right) \right]=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{ -8n^2 -1}{n^4+1} \right) \right]\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{ -8n^2 }{n^4 } \right) \right]\\
&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{- 8 }{n^2 } \right) \right]=e^{-8}<\lambda<1\to\mbox{converge}
\end{align}
data la serie
\begin{align} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln{(8^n+1)}}\end{align}
si osserva che è crtamente a termini positivi; considerando il termine generale si osserva che non è infinitesimo, e quindi la serie no può convergere, infatti
\begin{align}\lim_{n\to+\infty}\frac{6^{-n}+\sqrt{n^2+2n+2}}{\sin(n!)+8^{-n}+\ln{(8^n+1)}} \sim\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n\ln 8}=\frac{1}{ \ln 8};\end{align}
Per la seconda serie
\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3} \end{align}
si ossserva che è una serie a termini positivi, quindi possiamo applicare ad esempio, il criterio della radice: si ha:
\begin{align}\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3}&\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^3}}=\lim_{n\to+\infty}\left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right)^{n^2}=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2\ln \left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}\right) \right]\\
&\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{n^4-8n^2}{n^4+1}-1\right) \right]=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{ -8n^2 -1}{n^4+1} \right) \right]\sim\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{ -8n^2 }{n^4 } \right) \right]\\
&=\lim_{n\to+\infty}\exp\left[n^2 \left( \frac{- 8 }{n^2 } \right) \right]=e^{-8}<\lambda<1\to\mbox{converge}
\end{align}
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