Studio carattere della serie

[nick895]

Ciao a tutti, mi sto scervellando con queste due serie
$ sumlog|cos(1/n)-sin^2(1/n)|$
$ sum(sqrt(n^2+n)-n)(ntan(1/n)-1) $
La prima serie ha i termini tutti negativi, poiché la quantità all'interno del valore assoluto è sempre compresa fra 0 e 1.

Per la seconda (che è a termini non negativi) ho osservato che il primo fattore del prodotto è sempre minore di 1, e quindi la si può maggiorare con la serie che ha per termine generale il secondo fattore. Dopodiché, non so andare avanti.

Penso che per entrambi l'unica soluzione sia il confronto asintotico, ma sinceramente non so con cosa confrontare! In generale come si fa a sapere qual'è la serie che bisogna tirar fuori dal nulla per fare il confronto? :S

[magmachiuso]

In generale, il confronto asintotico risulta utile quando riesci a stabilire che il termine generale della serie ha lo stesso ordine di grandezza di un prodotto $n^a log^b(n)$ con $a,b$ numeri reali: la serie $\sum n^a log^b(n)$ converge se e solo se (1) $a<-1$ oppure (2) $a=-1$ e $b<-1$.

Per la prima serie, $\log|\cos a_n - \sin^2 a_n| = \log|1 - ca_n^2 + o(a_n^2)| = ca_n^2 + o(a_n^2)$ ($a_n \to 0$, $c\ne 0$) cioè il termine generale ha lo stesso ordine di grandezza di $n^{-2}$, da cui la convergenza. Per la seconda serie, notando che il termine generale si riscrive come $n^2(\sqrt{1+n^{-1}} - 1)(\tan n^{-1} - n^{-1})$ e che $(\sqrt{1+a_n} - 1)(\tan a_n - a_n) = ca_n^3 + o(a_n^3)$, il termine generale ha lo stesso ordine di grandezza di $n^{-1}$ e quindi non c'è convergenza.