Studio A.Obliquo funzione+dubbio esistenziale

[Titoaguero]

Salve a tutti ho la $f(x)=sqrt[((x^3-1)/x)]$ (tutta la frazione è sotto radice) e il $lim_(x->oo) f(x)=oo$ quindi ci può essere A.Obliquo
Faccio allora il $lim_(x->oo)f(x)/x$ e mi riporta $1$. A questo punto vado a cercare il termine noto del mio eventuale A.Obliquo e qui sorge il mio dubbio. Ho il $lim_(x->oo) sqrt[(x^3-1)/x]-x$ svolgo la somma e ho $ [sqrt((x^3-1))-xsqrtx]/sqrtx $ raccolgo $x^3$ solo sotto la radice e ho $ [sqrt[x^3(1-1/x^3)]-xsqrtx]/sqrtx $ e porto fuori da radice $x^3$ ottenendo $ [xsqrt[x(1-1/x^3)]-xsqrtx]/sqrtx $ a questo punto un mio amico che studia ingegneria mi ha detto che posso considerare $1/x^3$ come $0$ e otterrei $ [xsqrtx-xsqrtx]/sqrtx->0/sqrtx->0 $ Il procedimento è corretto?
Il mio dubbio esistenziale è: quando vado a sostituire $oo$ o qualsiasi altro valore a cui tenda il limite alla $x$ nella funzione, devo farlo contemporaneamente per tutte le $x$ presenti nella funzione oppure anche una per volta (come nel caso sopra dove ho considerato $1/x^3=0$ perchè appunto $1/oo=0$ senza però sostituire $oo$ alle altre $x$)? Spero di essere stato chiaro.
Grazie in anticipo:)

[Sk_Anonymous]

"Titoaguero":Salve a tutti ho la $f(x)=sqrt[((x^3-1)/x)]$ (tutta la frazione è sotto radice) e il $lim_(x->oo) f(x)=oo$ quindi ci può essere A.Obliquo
Faccio allora il $lim_(x->oo)f(x)/x$ e mi riporta $1$. A questo punto vado a cercare il termine noto del mio eventuale A.Obliquo e qui sorge il mio dubbio. Ho il $lim_(x->oo) sqrt[(x^3-1)/x]-x$ svolgo la somma e ho $ [sqrt((x^3-1))-xsqrtx]/sqrtx $ raccolgo $x^3$ solo sotto la radice e ho $ [sqrt[x^3(1-1/x^3)]-xsqrtx]/sqrtx $ e porto fuori da radice $x^3$ ottenendo $ [xsqrt[x(1-1/x^3)]-xsqrtx]/sqrtx $ a questo punto un mio amico che studia ingegneria mi ha detto che posso considerare $1/x^3$ come $0$ e otterrei $ [xsqrtx-xsqrtx]/sqrtx->0/sqrtx->0 $ Il procedimento è corretto? [...]

No, ovviamente. Allora:
1. quello che è vero è che \(\lim_{x \to +\infty} 1/x^3 = 0\), ma chiaramente \(1/x^3 \ne 0 \ \forall \ x \in \mathbb{R}\);
2. il limite in questione si risolve agilmente osservando che \[\begin{split} \sqrt{\frac{x^3 - 1}{x}} - x & = \left(\sqrt{\frac{x^3 - 1}{x}} - x \right) \cdot \frac{\sqrt{\frac{x^3 - 1}{x}} + x}{\sqrt{\frac{x^3 - 1}{x}} + x} \\ & = \frac{\frac{x^3 -1}{x} - x^2}{ \sqrt{\frac{x^3 -1}{x}} +x } = - \frac{1}{x \left(\sqrt{\frac{x^3 - 1}{x}} + x \right)} \end{split} \]
3. "l'\(\infty\) va sostituito contemporaneamente in tutte le \(x\)" (brrr...);
4. espressioni del tipo \(1/\infty\) hanno un significato formale soltanto in alcuni contesti (p.e. regole mnemoniche per il calcolo del birapporto), ma in questo (contesto) sono davvero dei pugni negli occhi.

[Titoaguero]

Grazie mille:)