Studio andamento di funzione
Ciao a tutti 
mi è stato proposto un esercizio nel quale mi si richiede di determinare se alcune funzioni sono crescenti o decrescenti, utilizzando solamente le proprietà elementari delle funzioni elementari (quindi senza l'uso delle derivate).
Ad esempio una di queste funzioni è la seguente:
$ f(x)=sin(x^2)+sqrt(1+x^2)$ , con $x in[0,sqrt(pi/2)]$ .
Il ragionamento che seguirei in questa è il seguente:
- Mi accorgo subito che è un addizione di membri, quindi se provo che entrambi i membri sono sempre crescenti nel dominio, allora di conseguenza la funzione sarà sempre crescente.
- $sin(x^2)$ nell'intervallo considerato, è strettamente crescente, in quanto $sqrt(pi/2)$ è il valore massimo che può assumere questa funzione e nell'intervallo so già che, considerando il seno come funzione continua e strettamente crescente, aggiungendo un quadrato resterà comunque strettamente crescente e continua;
- $sqrt(1+x^2)$ è banale dire che è strettamente crescente, in quanto $(x+1)^2 >= x^2$, dunque $sqrt(1+(x+1)^2)>= sqrt(1+x^2)$
Il problema è: bastano queste affermazioni per provare il tutto? O sono campate un pò per aria e ci si aspetta una dimostrazione più rigorosa?
Grazie mille per le risposte
mi è stato proposto un esercizio nel quale mi si richiede di determinare se alcune funzioni sono crescenti o decrescenti, utilizzando solamente le proprietà elementari delle funzioni elementari (quindi senza l'uso delle derivate).
Ad esempio una di queste funzioni è la seguente:
$ f(x)=sin(x^2)+sqrt(1+x^2)$ , con $x in[0,sqrt(pi/2)]$ .
Il ragionamento che seguirei in questa è il seguente:
- Mi accorgo subito che è un addizione di membri, quindi se provo che entrambi i membri sono sempre crescenti nel dominio, allora di conseguenza la funzione sarà sempre crescente.
- $sin(x^2)$ nell'intervallo considerato, è strettamente crescente, in quanto $sqrt(pi/2)$ è il valore massimo che può assumere questa funzione e nell'intervallo so già che, considerando il seno come funzione continua e strettamente crescente, aggiungendo un quadrato resterà comunque strettamente crescente e continua;
- $sqrt(1+x^2)$ è banale dire che è strettamente crescente, in quanto $(x+1)^2 >= x^2$, dunque $sqrt(1+(x+1)^2)>= sqrt(1+x^2)$
Il problema è: bastano queste affermazioni per provare il tutto? O sono campate un pò per aria e ci si aspetta una dimostrazione più rigorosa?
Grazie mille per le risposte
Risposte
"alevise1992":
- $sqrt(1+x^2)$ è banale dire che è strettamente crescente, in quanto $(x+1)^2 >= x^2$, dunque $sqrt(1+(x+1)^2)>= sqrt(1+x^2)$
Occhio, un ragionamento del genere va bene per l'induzione, con i reali dire $(x+1)^2\ge x^2$ non è che ha tanto senso perché un'affermazione del genere riguarda punti isolati distanziati e festanti: dimostreresti che i punti distanti $1$ all'interno di questi intervalli offrono valori consecutivi della funzione crescenti, ma non molto altro (in questo caso).
Magari puoi dire che $1+x^2$ è la somma di una costante e una quantità strettamente crescente in $[0,\sqrt(pi/2)]$ e quindi hai che la radice è strettamente crescente. Sommata al crescente seno concludi che la somma di due quantità crescenti è crescente.
Nell'intervallo considerato, ma ovvio che va bene così!
ok grazie mille
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