Studio altre due serie

[rocco.g1]

mi sono messo a studiare queste due altre serie:

1) ( 1/n)log(n^1/n) , la serie va da 1 a più infinito.

2) ( n^(1/n) - 1 ), sempre da 1 a più infinito...


per la prima , utilizzando le proprietà dei logaritmi, l'ho trasformata in log(n) / n^2 e facendo il limite ho visto che dava zero. Però poi non saprei cosa altro dire sulla serie, cioè non credo basti dire che siccome il limite è zero la serie converge... mi spiegate meglio come si risolvono queste due ? grazie

[Berationalgetreal]

Oggi riporto alla luce queste due serie, sulle quali ci si può divertire un po'. Non sono particolarmente difficili, ma sono un valido esercizio per chi deve studiare le serie, perchè richiedono comunque un po' di destrezza con i criteri.
Scritte un po' meglio:

\[ (1) \ \sum_{n =1}^{+ \infty} \frac{1}{n} \ln \left (n \right )^{\frac{1}{n}} \]

\[ (2) \ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \sqrt [n] {n} - 1 \]


La risoluzione è in spoiler:

(1) Per studiare la serie

\[ \sum_{n =1}^{+ \infty} \frac{1}{n} \cdot \ln \left (n \right )^{\frac{1}{n}} \]

si possono seguire più strade. Quella che ritengo più semplice è l'utilizzo del criterio di condensazione di Cauchy. La serie è chiaramente non crescente e a termini positivi; quindi possiamo affermare che

\[ \sum_{n =1}^{+ \infty} \frac{1}{n} \ln \left (n \right )^{\frac{1}{n}} \]

converge $\iff$ converge la serie

\[ \sum_{n = 0}^{+ \infty} 2^n \cdot \frac{1}{2^n} \cdot \ln \left (2^n \right )^{\frac{1}{2^n}} = \ln 2 \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{n}{2^{n}} \]

e questa converge per il criterio della radice, poichè

\[ \lim_{n \to + \infty} {\sqrt [n] {\frac{n}{2^{n}}}} = \frac{1}{2} < 1 \]

(2) In questo caso, basta notare che, definitivamente,

\[ \sqrt [n] {n} - 1 \geq \sqrt [n] {e} - 1 \]

La serie

\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} e^{\frac{1}{n}} - 1 \]

è visibilmente asintotica alla serie armonica:

\[ \lim_{n \to + \infty} { \frac{e^{\frac{1}{n}} - 1}{ \frac{1}{n}}} = 1 \]

quindi, per il criterio del confronto, essendo

\[ \sum_{n = 1}^{+ \infty} \sqrt [n] {n} - 1 \]

maggiore di una serie divergente, diverge anch'essa.