Studio

[laura832]

studiare f(x,y)=x^2+y^2+3xy su D=x^2+y^2=<4
ho l'esercizio svolto ma non capisco il perchè dei passi svolti..
ponendo gradiente f=0 trovo le coordinate x=0 e y=0..ma cosa sto trovando?
poi si parametrizza D e si calcola f(t) e f'(t). cercando i valori per cui f'(t) è =0 sto trovando il minimo?

infine mettendo a sistema g(x,y)=x^2+y^2-4 e la lagrangiana di f(x,y)
trovo i punti critici?

lo studio può considerarsi concluso?
i passi da svolgere in es simili sono sempre questi?
thanx

[Studente Anonimo]

Consideriamo l'interno di D e cerchiamo in esso gli eventuali punti critici della funzione f risolvendo l'equazione :

grad f = 0 .

Si ottiene il solo punto (0,0).

Vediamo se esso può essere un punto mi massimo o minimo relativo.

Per questo costruiamo la matrice Hessiana di f .

Essa risulta :

|2 3|
|3 2|

In (0,0) non è nè semidefinita positiva nè semidefinita negativa.

Per questo motivo il punto (0,0) non può essere nè un massimo nè un minimo relativo.

Consideriamo ora la frontiera del dominio (una circonferenza di centro (0,0) e raggio 2 ).

Cerchiamo lungo essa eventuali massimi e minimi relativi condizionati. Per fare questo si utilizza il metodo generale dei moltiplicatori di Lagrange. In questo caso, data la semplicità della frontiera, possiamo usare una sua parametrizzazione i coordinate polari.

Essa risulta :

x = 2*cos(teta)
y = 2*sin(teta)

con 0 <= teta <= 2pi .

Sostituendo nella funzione f otteniamo :

z = 4 + 6*sin(2*teta)

che presenta due massimi relativi e due minimi relativi rispetto a teta. Rispettivamente : pi/4 ; 5pi/4 e 3pi/4 ; 7pi/4.

S.e.E.O.

ps. in sintesi, il procedimento generale di questi esercizi è quindi :

-1- trovare nell'interno del dominio i punti critici (grad f = 0)
-2- studiare la matrice Hessiana per vedere se essi sono dei punti di massimo o minimo relativo
-3- cercare gli eventuali massimi e minimi relativi condizionati lungo la frontiera del dominio col metodo dei moltiplicatori di Lagrange o con opportune parametrizzazioni