Studiare una serie
Ciao a tutti, devo studiare il comportamento di questa serie:
$ sum_(n = 1)^(oo) (n/(n+1))^(n^2) $
e ho fatto: $ (1/((n+1)/n))^(n^2) $ -> $ (1/(1+1/n))^(n^2) $ poi con il criterio della radice dovevo studiare il $ lim_(n -> oo) (1/(1+1/n))^n $ che fa $ 1/e $ che è minore di 1 e quindi la serie converge. E' tutto giusto? Perchè di solito uso il PC per verificare, ma in questo caso non mi è molto di aiuto. Grazie a tutti!
$ sum_(n = 1)^(oo) (n/(n+1))^(n^2) $
e ho fatto: $ (1/((n+1)/n))^(n^2) $ -> $ (1/(1+1/n))^(n^2) $ poi con il criterio della radice dovevo studiare il $ lim_(n -> oo) (1/(1+1/n))^n $ che fa $ 1/e $ che è minore di 1 e quindi la serie converge. E' tutto giusto? Perchè di solito uso il PC per verificare, ma in questo caso non mi è molto di aiuto. Grazie a tutti!
Risposte
Ad occhio mi sembra corretto 
ah molto bene! allora ne approfitto per chiedertene altre due 
$ sum_(n = 1)^(oo) n/(e^(n^2)) $ l'ho fatta con il criterio della radice e viene $ 1/e^n $ che va a 0 quindi converge.
poi $ sum_(n = 1)^(oo) sin(1/n^2) $ ho pensato di dire che è minore di $ 1/n^2 $ che converge, e quindi converge. Vedi qualche errore? I dubbi ce li ho più che altro sulla seconda...
Grazie ancora
$ sum_(n = 1)^(oo) n/(e^(n^2)) $ l'ho fatta con il criterio della radice e viene $ 1/e^n $ che va a 0 quindi converge.
poi $ sum_(n = 1)^(oo) sin(1/n^2) $ ho pensato di dire che è minore di $ 1/n^2 $ che converge, e quindi converge. Vedi qualche errore? I dubbi ce li ho più che altro sulla seconda...
Grazie ancora
"minomic":
$ sum_(n = 1)^(oo) n/(e^(n^2)) $ l'ho fatta con il criterio della radice e viene $ 1/e^n $
Ok, la $n$ a numeratore però non sparisce per magia
"minomic":
che va a 0 quindi converge.
Questa frase non è corretta, ma so che nella tua testa hai l'idea giusta, VERO??
È una questione di ordini di infinitesimo, io lo scriverei meglio di come hai fatto.
"minomic":
poi $ sum_(n = 1)^(oo) sin(1/n^2) $ ho pensato di dire che è minore di $ 1/n^2 $ che converge, e quindi converge.
Non vedo particolari problemi, ammesso che tu sappia dimostrare che $sin(x) < x$ per qualche $x$, dicendo ovviamente quali $x$
il fatto che $sin x$ sia minore di $x$ dipende dal fatto che $-1<=sinx<=1$ vero?
Anche [tex]-1 \le x \le 1[/tex], in certi intervalli.
La dimostrazione "classica" è di tipo geometrico, quella che si usa quando si dimostra il limite fondamentale del seno.
La dimostrazione "classica" è di tipo geometrico, quella che si usa quando si dimostra il limite fondamentale del seno.
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