Studiare una forma differenziale

[ludwigZero]

salve
riporto alcuni dubbi sorti nello svolgere questo esercizio.
la forma differenziale è la seguente:

$\omega = (x/sqrt(x^2 - y^2) + sin x) dx - (y/sqrt(x^2 - y^2) + y^3 + 1) dy$

la prima cosa che si va a vedere è se il dominio è semplicemente connesso. [per ipotesi di forme differenziali...]

nel nostro caso il dominio si riduce a:

$|x|> |y|$ vi trovate?

se io dovessi disegnare il grafico.....dovrei disegnare le bisettrici del primo terzo quadrante e secondo quarto quadrante ''tolte'' dal resto di $RR^2$

al massimo allora il dominio è localmente semplicemente connesso.

facendo i calcoli, trovo la condizione di chiusura, ma questa è una condizione che non implica necessariamente l'esattezza.

ora, trovo la primitiva ed è del tipo:

$U(x,y) = \int f(x,y) dx = f'(x,y) + c(y)$

il dubbio è proprio su questo: la $c(y)$ che mi vado a trovare è uguale sia nel primo\quarto quadrante sia nel secondo\terzo?

mi hanno detto di no....ma non capisco il perchè!!! in questo modo non so come potrei concludere l'esercizio, che vista in maniera standard si ha:

$d_y U(x,y) = ..... + c'(y)$

$d_y U(x,y) = g(x,y)$

come faccio a far vedere che le costanti sono diverse?

[ciampax]

Il dominio non è quello che dici tu. Se ad esempio restringi la condizione al primo quadrante, trovi che deve essere $y

Cita

Segnala

[ludwigZero]

ciao ciampax
non ho capito se porre
$|x|>|y|$ è sbagliato come dominio....

poi connessa = senza 'buchi'?

[ciampax]

Non è sbagliato scrivere $|x|>|y|$, è sbagliato il modo in cui lo risolvi.
Un insieme è connesso se non si può scrivere come unione di due insiemi disgiunti.

[ludwigZero]

il mio problema è sapere se la risoluzione andava fatta sia per:
$x>y$ che per $x e da come ho capito, le $c(y)$ sarebbero state diverse proprio perchè stiamo considerando due insiemi connessi diversi...

[ciampax]

Quello è sicuro. Ma tu come insieme di definizione prendi una cosa costituita da quattro connessi, io ti dico che ce ne sono solo due.

La differenza comuqneu, sta nelle costanti arbitrarie che possono essere diverse sulle varie componenti connesse.

[ludwigZero]

forse ho capito
posto un immagine:

http://tinypic.com/r/11m87s7/6

in rosso $x in blu $x>y$

ma che succede in quei punti interrogativi?

[ciampax]

E' quello che ti stavo dicendo: se sei sul secondo quadrante, per esempio, visto che $x<0,\ y>0$ la tua condizione diventa $-x>y$, e rappresenta la porzione di piano del secondo quadrante che si trova sotto la bisettrice. Per cui devi ripetere i tuoi ragionamenti sui 4 quadranti e riscrivere, di volta in volta, la tua condizione tenendo conto della definizione di valore assoluto (che credo tu conosca... o no?).

[ludwigZero]

il mio problema ora è come realmente andava fatto l'esercizio, dal momento che credo di averlo totalmente sbagliato.
io ho trovato un $c(y)$ generale....e non capisco 'dal punto di vista dei passaggi' come avrei dovuto spezzare un $c(y)$ secondo i due domini semplicemente connessi...
il valore assoluto so cos è D: almeno questo...

[ciampax]

Quello che avresti dovuto fare non era discutere su come fosse fatta $c(y)$, ma su come impostare la scelta delle costanti arbitrarie (visto che usi un metodo di integrazione formale). In pratica avresti avuto

$U(x,y)=\int(x/\sqrt{x^2-y^2}+\sin x)\ dx=\sqrt{x^2-y^2}-\cos x+c(y)$

e quindi

$u_y(x,y)=- y/\sqrt{x^2-y^2}+c'(y)=- y/\sqrt{x^2-y^2}-y^3-1$

da cui $c'(y)=-y^3-1$ e quindi $c(y)=- y^4/4-y+c_i$ dove $c_i,\ i=1,2$ sono due costanti arbitrarie diverse definite per i due insiemi in cui si spezza il dominio.

L'altra osservazione è che non c'è un modo "continuo" per passare dall'una all'altra costante. Hai idea del perché?