Studiare sommabilità al variare di un parametro , aiuto perfavore!
Salve a tutti .
Vorrei aprire con qualche audace volenteroso un dibattito su questo tipo di esercizi , visto che seppure mi ci stia impegnando ancora non ne comprendo il significato concettuale .
Partiamo dal significato di "sommabilità".
A quanto ho capito si intende sommabile una funzione in un determinato intervallo se il valore assoluto del suo integrale in quell'intervallo risulta finito . E fin qui ok , ho capito .
Ci sono vari modi per procedere , in generale . O ci si riconduce ad integrali impropri notevoli , e si usa il criterio del confronto asintotico , oppure si svolge l'integrale e si fa tendere uno degli estremi al valore ricercato . (visto che gli intervalli in questione sono intervalli "scomodi" , in cui sono presenti infiniti e punti di discontinuità ) .
Quindi in poche parole tali esercizi consentono di studiare l'integrale di una funzione nei suoi punti critici , per verificare se in questi la funzione risulta sommabile ( e quindi anche integrabile?) .
Allora io ho svolto qualche esercizio per conto mio , e su quelli più semplici non ho avuto grandi problemi , ma mi sono trovato di fronte a un es del genere :
Individuare i valore del parametro reale alfa per cui risulta sommabile nella semiretta [0 , + infinito) la funzione :
$ f(x) = x^(1/3) / (x + 3 - a )^2 $
Dunque qua mi ha messo in crisi il parametro .
Innanzitutto non posso procedere facendo subito l'integrale visto che risulterebbe scomodo , però , concettualmente , la richiesta sarebbe ( correggetemi se sbaglio please) :
trova i valore del parametro per cui l'integrale da 0 a + infinito di $ f(x) $ risulti finito .
Essendo positiva la funzione nell'intervallo richiesto non è necessario passare al valore assoluto .
Questo esercizio è d'esame e l'ho trovato svolto dal co-docente del mio corso ;
http://www.alfredodonno.altervista.org/ ... 012013.pdf ( questo è l'es svolto)
Guardando lo svolgimento non ho capito realmente cosa ha fatto ...
per conto mio avrei spezzato l'integrale in due parti , uno che riguarda l'intervallo da 0 a b ( con b > 0) e l'altro da "b" a "+ infinito" , così da poter lavorare sui due casi separatamente .
E anch'io sono arrivato alla conclusione che il secondo integrale converge , visto che la funzione all'infinito si comporta come
$ 1/x^(5/3) $ che converge avendo esponente maggiore di 1 .
Il problema è sorto nel secondo integrale , non so proprio come procedere per studiarne la convergenza .
Se vedete la pagina che ho linkato lui propone una casistica , ma non capisco perchè la scelta di quella casistica .
Qualcuno può illuminarmi? Ce la sto mettendo tutta , ma sul libro non c'è niente , su internet solo esercizi svolti , che senza una base concettuale sono poco utili .
Spero possiate aiutarmi xD
Vorrei aprire con qualche audace volenteroso un dibattito su questo tipo di esercizi , visto che seppure mi ci stia impegnando ancora non ne comprendo il significato concettuale .
Partiamo dal significato di "sommabilità".
A quanto ho capito si intende sommabile una funzione in un determinato intervallo se il valore assoluto del suo integrale in quell'intervallo risulta finito . E fin qui ok , ho capito .
Ci sono vari modi per procedere , in generale . O ci si riconduce ad integrali impropri notevoli , e si usa il criterio del confronto asintotico , oppure si svolge l'integrale e si fa tendere uno degli estremi al valore ricercato . (visto che gli intervalli in questione sono intervalli "scomodi" , in cui sono presenti infiniti e punti di discontinuità ) .
Quindi in poche parole tali esercizi consentono di studiare l'integrale di una funzione nei suoi punti critici , per verificare se in questi la funzione risulta sommabile ( e quindi anche integrabile?) .
Allora io ho svolto qualche esercizio per conto mio , e su quelli più semplici non ho avuto grandi problemi , ma mi sono trovato di fronte a un es del genere :
Individuare i valore del parametro reale alfa per cui risulta sommabile nella semiretta [0 , + infinito) la funzione :
$ f(x) = x^(1/3) / (x + 3 - a )^2 $
Dunque qua mi ha messo in crisi il parametro .
Innanzitutto non posso procedere facendo subito l'integrale visto che risulterebbe scomodo , però , concettualmente , la richiesta sarebbe ( correggetemi se sbaglio please) :
trova i valore del parametro per cui l'integrale da 0 a + infinito di $ f(x) $ risulti finito .
Essendo positiva la funzione nell'intervallo richiesto non è necessario passare al valore assoluto .
Questo esercizio è d'esame e l'ho trovato svolto dal co-docente del mio corso ;
http://www.alfredodonno.altervista.org/ ... 012013.pdf ( questo è l'es svolto)
Guardando lo svolgimento non ho capito realmente cosa ha fatto ...
per conto mio avrei spezzato l'integrale in due parti , uno che riguarda l'intervallo da 0 a b ( con b > 0) e l'altro da "b" a "+ infinito" , così da poter lavorare sui due casi separatamente .
E anch'io sono arrivato alla conclusione che il secondo integrale converge , visto che la funzione all'infinito si comporta come
$ 1/x^(5/3) $ che converge avendo esponente maggiore di 1 .
Il problema è sorto nel secondo integrale , non so proprio come procedere per studiarne la convergenza .
Se vedete la pagina che ho linkato lui propone una casistica , ma non capisco perchè la scelta di quella casistica .
Qualcuno può illuminarmi? Ce la sto mettendo tutta , ma sul libro non c'è niente , su internet solo esercizi svolti , che senza una base concettuale sono poco utili .
Spero possiate aiutarmi xD
Risposte
Il punto è vedere dove si annulla il denominatore e che effetti produce sull'integrabilità.
*se $ alpha < 3 $ il denominatore si annulla in un punto fuori dell'intervallo di integrazione e dunque la funzione integranda è continua in ogni punto dell'intervallo di integrazione - quindi è integrabile .
*se $ alpha = 3 $ il denominatore si annulla in $x=0 $ che è un estremo di integrazione .
Come si comporta la funzione integranda nell'intorno di $ 0 $ ?? è asintotica a $ 1/x^(5/2) $ quindi essendo $ (5/2)> 1 $ la funzione non è integrabile.
*se poi $ alpha >3 $ allora il denominatore si annulla proprio in un punto interno all'intervallo di integrazione.
Come si comporta la funzione nell'intorno del punto di annullo ? in questo intorno si ha che $ x rarr (alpha-3) $ e la funzione integranda è asintotica a $ (alpha-3)^(1/3)/(x-(alpha-3))^2 $ ed essendo 2 > 1 la funzione non è integrabile.
Conclusione la funzione è integrabile solo se $ alpha < 3 $
*se $ alpha < 3 $ il denominatore si annulla in un punto fuori dell'intervallo di integrazione e dunque la funzione integranda è continua in ogni punto dell'intervallo di integrazione - quindi è integrabile .
*se $ alpha = 3 $ il denominatore si annulla in $x=0 $ che è un estremo di integrazione .
Come si comporta la funzione integranda nell'intorno di $ 0 $ ?? è asintotica a $ 1/x^(5/2) $ quindi essendo $ (5/2)> 1 $ la funzione non è integrabile.
*se poi $ alpha >3 $ allora il denominatore si annulla proprio in un punto interno all'intervallo di integrazione.
Come si comporta la funzione nell'intorno del punto di annullo ? in questo intorno si ha che $ x rarr (alpha-3) $ e la funzione integranda è asintotica a $ (alpha-3)^(1/3)/(x-(alpha-3))^2 $ ed essendo 2 > 1 la funzione non è integrabile.
Conclusione la funzione è integrabile solo se $ alpha < 3 $
okk . Ho due domande...perchè "il punto è vedere dove si annulla il denominatore" ?
E per il caso a>3 non ho capito il ragionamento , io sapevo che per confronto bisognava ricondursi a una cosa del tipo :
$ 1/x^a $
Ma non mi pare sia in quella forma xD puoi dirmi come ci arrivi ?
E per il caso a>3 non ho capito il ragionamento , io sapevo che per confronto bisognava ricondursi a una cosa del tipo :
$ 1/x^a $
Ma non mi pare sia in quella forma xD puoi dirmi come ci arrivi ?
Se il denominatore si annulla in un punto $x=b $ che fa parte del dominio della funzione , in tale punto la funzione non è limitata e bisogna vedere come va all'infinito , siamo cioè nel caso $1/(x-b)^(alpha )$ ; se $ alpha < 1 $ la funzione è integrabile altrimenti non lo è.
Ho generalizzato quello che tu scrivi come $1/x^(alpha) $ in cui il punto critico è l'origine a quello che ho scritto io in cui il punto critico è $x= b $
Se invece il denominatore si annulla in un punto esterno all'intervallo di integrazione la funzione è continua e ed è integrabile.
Non so se ho dissipato tutti i tuoi dubbi ma sto uscendo..
Ho generalizzato quello che tu scrivi come $1/x^(alpha) $ in cui il punto critico è l'origine a quello che ho scritto io in cui il punto critico è $x= b $
Se invece il denominatore si annulla in un punto esterno all'intervallo di integrazione la funzione è continua e ed è integrabile.
Non so se ho dissipato tutti i tuoi dubbi ma sto uscendo..
Spero di poterne approfittare per chiederti un'altra cosa , che davvero mi sta facendo uscire di testa...
Se devo verificare che la funzione :
$ Senx*Cosx $ Sia sommabile in (0 , + infinito)
come procedo?
Sarebbe l'esercizio 5 di questa pagina http://www.alfredodonno.altervista.org/ ... b2013c.pdf
Non lo capiscoo , non spiega i passaggi che fa ...
Potresti interpretarmelo? Il fatto che lui introduca la sommatoria per minorare la funzione integranda...
davvero non trovo un filo logico ...l'esercizio di sopra l'ho svolto e ho capito i passaggi grazie anche ai tuoi consigli...ma
questo non lo capisco, non c'è parametro ma il seno e il coseno sono terribili quando si vuole vedere come si comportano all'infinito..
Non è che c'è un'altra via? ho visto che lui usa spesso questa cosa della sommatoria ... mi sto lentamente deprimendo
Se devo verificare che la funzione :
$ Senx*Cosx $ Sia sommabile in (0 , + infinito)
come procedo?
Sarebbe l'esercizio 5 di questa pagina http://www.alfredodonno.altervista.org/ ... b2013c.pdf
Non lo capiscoo , non spiega i passaggi che fa ...
Potresti interpretarmelo? Il fatto che lui introduca la sommatoria per minorare la funzione integranda...
davvero non trovo un filo logico ...l'esercizio di sopra l'ho svolto e ho capito i passaggi grazie anche ai tuoi consigli...ma
questo non lo capisco, non c'è parametro ma il seno e il coseno sono terribili quando si vuole vedere come si comportano all'infinito..
Non è che c'è un'altra via? ho visto che lui usa spesso questa cosa della sommatoria ... mi sto lentamente deprimendo
Penso ti sia chiaro come arriva a calcolare $int_0^(2pi)|sinx cosx|dx =2$.
Che il risultato sia una quantità positiva era scontato in quanto la funzione integranda è un valore assoluto e quindi sempre positiva, sta sempre sopra l'asse delle ascisse ( nulla solo in alcuni punti, dove si annulla il seno o il coseno ) e tutte le aree sono positive.
Ora in modo intuitivo pensa che la funzione $|sinx cos x | $ è periodica ( di periodo $pi$) e che in ogni intervallo del tipo $(0, 2pi),( 2pi, 4pi ),(4pi,6pi),... .......,(2kpi,2(k+1)pi),...$ il suo integrale vale $2 $ .
Se sommo tutti questi valori vuol dire che otterrò, come valore dell'integrale $int_0^(2(k+1)pi)|sin x cosx|dx $ :
$2+2+2+2+......$ , [($k+1 $) volte],
Al tendere di $k rarr +oo $ il valore dell'integrale sopra indicato tenderà a $+oo$ in quanto somma di infiniti contributi di valore ciascuno pari a $2$.
Pertanto la funzione in oggetto non è integrabile tra $ 0 $ e $+oo $ mentre lo sarebbe ad es. tra $0 $ e $ 10^6 $ in quanto verrebbe un valore grandissimo dell'integrale ma FINITO.
P.S. Non è il caso di deprimersi per una funzione trigonometrica
Che il risultato sia una quantità positiva era scontato in quanto la funzione integranda è un valore assoluto e quindi sempre positiva, sta sempre sopra l'asse delle ascisse ( nulla solo in alcuni punti, dove si annulla il seno o il coseno ) e tutte le aree sono positive.
Ora in modo intuitivo pensa che la funzione $|sinx cos x | $ è periodica ( di periodo $pi$) e che in ogni intervallo del tipo $(0, 2pi),( 2pi, 4pi ),(4pi,6pi),... .......,(2kpi,2(k+1)pi),...$ il suo integrale vale $2 $ .
Se sommo tutti questi valori vuol dire che otterrò, come valore dell'integrale $int_0^(2(k+1)pi)|sin x cosx|dx $ :
$2+2+2+2+......$ , [($k+1 $) volte],
Al tendere di $k rarr +oo $ il valore dell'integrale sopra indicato tenderà a $+oo$ in quanto somma di infiniti contributi di valore ciascuno pari a $2$.
Pertanto la funzione in oggetto non è integrabile tra $ 0 $ e $+oo $ mentre lo sarebbe ad es. tra $0 $ e $ 10^6 $ in quanto verrebbe un valore grandissimo dell'integrale ma FINITO.
P.S. Non è il caso di deprimersi per una funzione trigonometrica
Ho capito , grazie mille! In effetti non era poi così difficile . Però , scusa se ti ammorbo , se invece ho una cosa del genere?
http://www.alfredodonno.altervista.org/ ... 201212.pdf
guarda... l'esercizio in realtà sarei stato in grado di svolgerlo fino al punto due , però quando lui analizza il caso
$ a = - 1/3 $ mi sono ricascate le braccia...
sono d'accordo che posso minorare , come mi hai spiegato su sopra , l'integrale (da $ 2pi $ a + infinito) di
$ [sen^2(x)]/x $ (*) come la sommatoria di tanti integrali ognuno che copre un intervallo di due-pigreco .
Però le diseguaglianze che seguono a quel passaggio non le capisco -
Ti chiedo , quando hai tempo e senza alcuna fretta , se puoi spiegarmi i passaggi matematici che fa lui per dire che l'integrale improprio da 2-pigreco a + infinito della funzione (*) sia divergente...ti giuro non capisco proprio .. ho anche chiesto consulto a mio padre che è ingegnere ma nada...non capiamo come tiri fuori quelle diseguaglianze e come tiri fuori quei "pezzi" dall'integrale...grazie eh , davvero .
http://www.alfredodonno.altervista.org/ ... 201212.pdf
guarda... l'esercizio in realtà sarei stato in grado di svolgerlo fino al punto due , però quando lui analizza il caso
$ a = - 1/3 $ mi sono ricascate le braccia...
sono d'accordo che posso minorare , come mi hai spiegato su sopra , l'integrale (da $ 2pi $ a + infinito) di
$ [sen^2(x)]/x $ (*) come la sommatoria di tanti integrali ognuno che copre un intervallo di due-pigreco .
Però le diseguaglianze che seguono a quel passaggio non le capisco -
Ti chiedo , quando hai tempo e senza alcuna fretta , se puoi spiegarmi i passaggi matematici che fa lui per dire che l'integrale improprio da 2-pigreco a + infinito della funzione (*) sia divergente...ti giuro non capisco proprio .. ho anche chiesto consulto a mio padre che è ingegnere ma nada...non capiamo come tiri fuori quelle diseguaglianze e come tiri fuori quei "pezzi" dall'integrale...grazie eh , davvero .
La domanda è : per quali $alpha in RR$ è sommabile in $[0, +oo) $ la funzione $ f(x)= x^(3*alpha)*sin^2x $ ?
Conviene dividere l'integrale in due pezzi così : $int_0^(+oo) x^(3*alpha)*sin^2x dx = int_0^(2pi) x^(3*alpha)*sin^2x dx+ int_(2pi)^(+oo)x^(3*alpha)*sin^2x dx $ in modo da avere un solo punto critico in ogni integrale.
Primo Integrale ( che ha come unico punto critico $x=0 $) converge se $ alpha > -1 $ in quanto la funzione integranda è ( nell'intorno di $x=0$) asintotica a $1/x^(-2-3alpha) $.
Secondo integrale : avendosi $| x^(3*alpha)*sin^2x |<= x^(3 alpha)= 1/(x^(-3alpha))$ [ perché $|sin^2x|<=1 $],siamo nell'intorno di $+oo$, unico punto critico e per convergere deve essere $alpha < -1/3$.
Sempre per il secondo integrale se $ alpha = -1/3$ avremo $int_(2pi)^(+oo)(( sin^2x)/x)*dx >= sum_(k=1)^N int_(2kpi)^(2(k+1)pi)((sin^2x)/x)*dx $ ( perché mi fermo al k-esimo intervallo invece di andare fino all'infinito) $ >= sum_(k=1)^N 1/(2(k+1)pi) int_(2kpi)^(2(k+1)pi)sin^2x dx$ [ perché senz'altro si ha che il valore di $1/x$ in ogni intervallo $(2kpi,2(k+1)pi)$ è $>= 1/(2(k+1)pi)$, essendo in ogni intervallo $x <= 2(k+1)pi $].
A questo punto i conti per $ int_(2kpi)^(2(k+1)pi)sin^2x dx$ sono stranoti e portano in conclusione al risultato finale che
$int_(2pi)^(+oo) ((sin^2x)/x)dx >= sum_(k=1)^N 1/(2(k+1)$ che , per $N rarr +oo $ diverge a $+oo $ come la serie armonica , visto che è proprio una serie armonica ($sum_1^(+oo)1/n $).
Ora se $alpha >= -1/3 $ si ha che $ x^(3*alpha) *sin^2x >= (sin^2x)/x , AA x in [2pi,+oo) $ , anzi ad essere precisi ciò avviene $AA x in [1,+oo) $ [in quanto $1/(x^(-3 alpha)) <(1/x) $] e il secondo integrale diverge per il criterio del confronto visto prima in quanto $(sin^2x)/x $ divergeva e a maggior ragione diverge $ x^(3alpha)*sin^2x >= (sin^2x)/x $.
Quindi
il primo integrale converge per $ alpha > -1 $
il secondo converge per $alpha < -1/3 $
Quindi la funzione in oggetto è sommabile in $ [ 0.+oo) $per $ alpha in ( -1,-1/3)$.
P.S . Che Cdl segui ' ingegneria alla Sapienza ?
Spero che i temi di analisi d'esame non siano così macchinosi come questo esercizio
Conviene dividere l'integrale in due pezzi così : $int_0^(+oo) x^(3*alpha)*sin^2x dx = int_0^(2pi) x^(3*alpha)*sin^2x dx+ int_(2pi)^(+oo)x^(3*alpha)*sin^2x dx $ in modo da avere un solo punto critico in ogni integrale.
Primo Integrale ( che ha come unico punto critico $x=0 $) converge se $ alpha > -1 $ in quanto la funzione integranda è ( nell'intorno di $x=0$) asintotica a $1/x^(-2-3alpha) $.
Secondo integrale : avendosi $| x^(3*alpha)*sin^2x |<= x^(3 alpha)= 1/(x^(-3alpha))$ [ perché $|sin^2x|<=1 $],siamo nell'intorno di $+oo$, unico punto critico e per convergere deve essere $alpha < -1/3$.
Sempre per il secondo integrale se $ alpha = -1/3$ avremo $int_(2pi)^(+oo)(( sin^2x)/x)*dx >= sum_(k=1)^N int_(2kpi)^(2(k+1)pi)((sin^2x)/x)*dx $ ( perché mi fermo al k-esimo intervallo invece di andare fino all'infinito) $ >= sum_(k=1)^N 1/(2(k+1)pi) int_(2kpi)^(2(k+1)pi)sin^2x dx$ [ perché senz'altro si ha che il valore di $1/x$ in ogni intervallo $(2kpi,2(k+1)pi)$ è $>= 1/(2(k+1)pi)$, essendo in ogni intervallo $x <= 2(k+1)pi $].
A questo punto i conti per $ int_(2kpi)^(2(k+1)pi)sin^2x dx$ sono stranoti e portano in conclusione al risultato finale che
$int_(2pi)^(+oo) ((sin^2x)/x)dx >= sum_(k=1)^N 1/(2(k+1)$ che , per $N rarr +oo $ diverge a $+oo $ come la serie armonica , visto che è proprio una serie armonica ($sum_1^(+oo)1/n $).
Ora se $alpha >= -1/3 $ si ha che $ x^(3*alpha) *sin^2x >= (sin^2x)/x , AA x in [2pi,+oo) $ , anzi ad essere precisi ciò avviene $AA x in [1,+oo) $ [in quanto $1/(x^(-3 alpha)) <(1/x) $] e il secondo integrale diverge per il criterio del confronto visto prima in quanto $(sin^2x)/x $ divergeva e a maggior ragione diverge $ x^(3alpha)*sin^2x >= (sin^2x)/x $.
Quindi
il primo integrale converge per $ alpha > -1 $
il secondo converge per $alpha < -1/3 $
Quindi la funzione in oggetto è sommabile in $ [ 0.+oo) $per $ alpha in ( -1,-1/3)$.
P.S . Che Cdl segui ' ingegneria alla Sapienza ?
Spero che i temi di analisi d'esame non siano così macchinosi come questo esercizio
Faccio ingegneria chimica alla sapienza xD No questa era un'esercitazione , solitamente i temi d'esame sono più fattibili..spero xD . Purtroppo non è che abbia capito molto , ma si poteva fare in un altro modo secondo te? Un procedimento meno macchinoso appunto . Perchè ad esempio ho provato ora a farlo così :
Invece di spezzare l'integrale nei due intervalli , da 0 a $ 2pi $ e da $ 2pi $ a +infinito , ho preso $ ( 0 , 1) $
e ( 1 , +infinito ) . Nel primo bastava fare le stesse considerazione che hai fatto tu :
- $ x^(3a)*[sen(x)]^2 ---> x^(3a)*x^2 $ ( in un intorno di 0 , perchè sen^2(x) si comporta come $ x^2 $ giusto? )
e quindi , per confronto , viene $ a > -1 $
Per il secondo , ugualmente , bastava vedere che :
- $ x^(3a)*[sen(x)]^2 < x^(3a) $ ( in un intorno di infinito , o potevo anche dire che era asinitotico a x^(3a) , visto che è l'unico "pezzo che da un contributo serio all'infinito)
e quindi , per confronto , viene $ a < - 1/3 $
Ora nel caso di $ a = - 1/3 $ abbiamo detto che l'integrale da vedere risulta essere :
integrale da 1 , a + infinito (scusa non ho ancora capito qual'è il simbolo da digitare per l'integrale xD )
di : $ [[sen(x)]^2]/x $
posso rendere inoltre : $ [sen(x)]^2 = [1 - cos(2x)]/2 $
e dentro l'integrale ho quindi : $ 1/(2x) - [cos(2x)]/(2x) $
che posso spezzare , per poi farne il limite (faccio tendere l'estremo a infinito )
Quindi mi viene il limite (con M , il parametro , che tende a infinito) di :
$ 1/2 * log(M) $
meno l'integrale da 1 a M di $ [cos(2x)]/(2x) $
adesso il primo pezzo , quello con il logaritmo , diverge .
Il secondo pezzo, l'integrale , lo risolvo per parti .
quindi l'integrale da 1 a M di $ [cos(2x)]/(2x) $
è uguale a limite , per M che tende a infinito , di :
$ [sen(M)]/M - sen(1) $
meno l'integrale da 1 a M di $ - [sen(x)]/x^2 $
Ora questo integrale converge , per confronto con $ 1/x^2 $ ( esponente maggiore di 1 )
quindi l'integrale di partenza diverge , perchè mi rimane il logaritmo il cui argomento tende a infinito .
Mi scuso in anticipo per il "meno integrale" , era meglio se davo una guardata ai simboli da usare...
comunque questo procedimento mi sembra meno macchinoso , visto che uso l'integrazione per parti , il limite, e il criterio del confronto .
Secondo te ha senso?
Invece di spezzare l'integrale nei due intervalli , da 0 a $ 2pi $ e da $ 2pi $ a +infinito , ho preso $ ( 0 , 1) $
e ( 1 , +infinito ) . Nel primo bastava fare le stesse considerazione che hai fatto tu :
- $ x^(3a)*[sen(x)]^2 ---> x^(3a)*x^2 $ ( in un intorno di 0 , perchè sen^2(x) si comporta come $ x^2 $ giusto? )
e quindi , per confronto , viene $ a > -1 $
Per il secondo , ugualmente , bastava vedere che :
- $ x^(3a)*[sen(x)]^2 < x^(3a) $ ( in un intorno di infinito , o potevo anche dire che era asinitotico a x^(3a) , visto che è l'unico "pezzo che da un contributo serio all'infinito)
e quindi , per confronto , viene $ a < - 1/3 $
Ora nel caso di $ a = - 1/3 $ abbiamo detto che l'integrale da vedere risulta essere :
integrale da 1 , a + infinito (scusa non ho ancora capito qual'è il simbolo da digitare per l'integrale xD )
di : $ [[sen(x)]^2]/x $
posso rendere inoltre : $ [sen(x)]^2 = [1 - cos(2x)]/2 $
e dentro l'integrale ho quindi : $ 1/(2x) - [cos(2x)]/(2x) $
che posso spezzare , per poi farne il limite (faccio tendere l'estremo a infinito )
Quindi mi viene il limite (con M , il parametro , che tende a infinito) di :
$ 1/2 * log(M) $
meno l'integrale da 1 a M di $ [cos(2x)]/(2x) $
adesso il primo pezzo , quello con il logaritmo , diverge .
Il secondo pezzo, l'integrale , lo risolvo per parti .
quindi l'integrale da 1 a M di $ [cos(2x)]/(2x) $
è uguale a limite , per M che tende a infinito , di :
$ [sen(M)]/M - sen(1) $
meno l'integrale da 1 a M di $ - [sen(x)]/x^2 $
Ora questo integrale converge , per confronto con $ 1/x^2 $ ( esponente maggiore di 1 )
quindi l'integrale di partenza diverge , perchè mi rimane il logaritmo il cui argomento tende a infinito .
Mi scuso in anticipo per il "meno integrale" , era meglio se davo una guardata ai simboli da usare...
comunque questo procedimento mi sembra meno macchinoso , visto che uso l'integrazione per parti , il limite, e il criterio del confronto .
Secondo te ha senso?
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