Studiare solo il segno della funzione

[rsist]

si determini l'insieme di definizione e si studi il segno della funzione definita da:

$( \sqrt{| \frac{2x+1}{x-1} |}-\sqrt{x} )\cdot arccos\sqrt{x^{2}-4x+4}$

grazie mille.. spero che mi possiate aiutare..

[Zero87]

"rsist":spero che mi possiate aiutare..

Certo, ma inizia con il buttare giù qualche idea.

In genere, quando si ha a che fare con funzioni "chilometriche", basta fare il dominio dei singoli pezzi per poi mettere i risultati a sistema (per vedere, dunque, quando tutti i pezzi sono definiti "in contemporanea", e quindi il tutto è definito).

Quindi inizia con il vedere quali problemi ti danno i singoli termini.

[rsist]

allora devo porre il sitema
$
(\sqrt | \frac{2x+1}{x-1} |-\sqrt{x} )>0
arccos\sqrt{x^{2}-4x+4 }>0

$
ma quali sono le condizioni per cui sia il valore assoluto,sia la radice e sia l'arcocoseno sono maggiori di zero??

[Zero87]

"rsist":allora devo porre il sitema [...]

Calma, calma, ragioniamo con calma.

Hai una funzione che è composta da un sacco di termini raggruppati in 2 parti: parentesi+arcocoseno.

Ora sai che il "dominio totale" è dove è definita tutta la funzione, quindi ogni singolo termine deve essere definito (ed ecco che viene fuori il sistema).

Quindi occorre analizzare con calma i singoli termini

1.
$\sqrt(|(2x+1)/(x-1)|=$ è una radice.
Che problemi dà?
Siccome è ad esponente pari, il radicando deve essere non negativo (aguzza l'ingegno, mi raccomando!); inoltre, dato che il radicando è una frazione, il denominatore deve essere non nullo.

2.
$\sqrt(x)$ è una radice, in modo simile a prima.

3.
$arccos(\sqrt(x^2-4x+4))$ è la composizione di una radice con l'arcocoseno.
Quindi deve esistere la radice (occhio al radicando ), e, in seguito, una volta determinato il dominio di esistenza della radice devi vedere in esso quando esiste l'arcocoseno.
Ricordiamo che l'arcocoseno ha come dominio $[-1,1]$ sperando di non cascare proprio su una funzione trigonometrica!

Alla fine metti a sistema tutti i singoli domini e vedi quando sono verificati contemporaneamente, quindi è verificata tutta la funzione.

Poiché dici che devi fare dominio e segno, intanto risolvi il dominio, poi per il segno vedi in seguito, meglio un passo alla volta, no?

[rsist]

ho provato risolvere dapprima la disequazione:
$\sqrt{ | \frac{2x+1}{x-1} |}$>$\sqrt{x}$
Per la realtà di tutte le radici presenti dovrà essere:
$\frac{2x+1}{x-1}>0$ e $x>0$

le cui soluzioni sono:
$x<-\frac{1}{2} \vee x>1 \vee x>0$(2)

elevando al quadrato i due membri:
$\ ( \sqrt{ | \frac{2x+1}{x-1} |} )^2> ( \sqrt{x} )^2$
otteniamo
$ ( { \frac{2x+1}{x-1} } )> ({x} )$
che risolvendo si ha:
$x<\frac{3-{\sqrt{13}}}{2}$ e 1 < x < $\frac{3+{\sqrt{13}}}{2}$ (3)

ponendo a sistema le due condizioni (2) e (3), concludo che la disequazione è soddisfatta per:
$x<\frac{3-{\sqrt{13}}}{2}$ e 1 < x < $\frac{3+{\sqrt{13}}}{2}$

va bene come ragionamento?? per l'arcoseno non sò proprio come devo fare...

[Zero87]

"rsist":ho provato risolvere dapprima la disequazione:
$\sqrt{ | \frac{2x+1}{x-1} |}$>$\sqrt{x}$

Sinceramente non capisco questo passaggio nel calcolo del dominio: mi sembra più una cosa da "disequazioni con radicali".

Ricapitoliamo - chiunque mi corregga se sbaglio, ovvio! - tu hai una funzione del tipo

$(a(x)-b(x))arccos(c(x))$
dove ho indicato i termini con $a,b,c$ tanto per non riscriverli daccapo.

Ora, se calcoliamo il dominio, non serve porre
$a(x)>b(x)$
perché se $a(x)
Attenzione, occorre, però, controllare come e quando sono definite in contemporanea $a(x)$ e $b(x)$ che è una cosa differente da quanto detto.

Magari sto fraintendendo o magari non ci capiamo: da me ci sono minimo minimo 30 gradi e tra un po' perdo l'uso della ragione!

[rsist]

per il dominio non ci sono problemi... quello che ho scritto prima era per il calcolo del segno della funzione

[Zero87]

"rsist":per il dominio non ci sono problemi... quello che ho scritto prima era per il calcolo del segno della funzione

Ah, ecco, ora ci siamo, allora avevo frainteso io. Poi avevo insistito sul dominio perché nel tuo primo post avevi detto "calcolo dell'insieme di definizione e del segno".

Chiedo perdono, ma vedrò di rimediare.

Siccome è un prodotto, bisogna vedere il segno del primo e quello del secondo termine. Per quanto riguarda il primo, lascio la parola ad altri perché ultimamente le disequazioni con i radicali m'hanno dato tanti grattacapi.

Per il secondo, pensa che l'arcocoseno ha come dominio il fatto che l'argomento sia compreso tra $-1$ e $1$ (dovresti già averlo imposto nel calcolo del dominio quindi lo sai già), mentre il codominio è $\ge 0$, dunque l'arcocoseno, a prescindere da quello che ci metti dentro, se hai imposto bene il dominio, il codominio è non negativo quindi non assume valori negativi.
[Ero indeciso su quest'ultima affermazione e ho rivisto su wiki... dai, cercate di capirmi, ho fatto analisi I più di 6 anni fa! ]

[rsist]

ho provato a risolvere in tal modo:
Per il dominio:
- 1 ≤ |x - 2| ≤ 1
La disequazione a sinistra è sempre verificata: |x - 2| ≥ - 1
Rimane
|x - 2| ≤ 1

Per la disequazione: poiché 0 ≤ acos |x - 2|≤ π abbiamo
{|x - 2| ≤ 1
{|x - 2| ≠ 1
ovvero
|x - 2| < 1
equivalente a
- 1 < x - 2 < 1
1 < x < 3

così va bene???

[Zero87]

"rsist":Per il dominio:

Avevi detto che il dominio è apposto... Va beh, non fa nulla!

"rsist":- 1 ≤ |x - 2| ≤ 1

Quindi stiamo parlando del dominio dell'arcocoseno, ok.

"rsist":La disequazione a sinistra è sempre verificata: |x - 2| ≥ - 1
Rimane
|x - 2| ≤ 1 [...]
equivalente a
- 1 < x - 2 < 1
1 < x < 3

Quindi hai trovato, prima dov'è definito l'arcocoseno, cioè $1\le x \le 3$ poi dov'è definito. Per quanto riguarda il dominio complessivo - dato che l'hai calcolato, ricapitoliamolo - c'è da tenere conto di un $x\ge 0$ per la seconda radice e $x\ne 1$ per la radice (l'argomento è sempre non negativo dato che è un modulo, ma in $1$ si annulla il denominatore).

Il dominio totale è, dunque, $1
In esso l'arcocoseno assume "sempre" valori non negativi (sottolineo il sempre), quindi è ininfluente per lo studio del segno (al max si annulla per $x=3$).

Manca, dunque, il primo termine tra parentesi, ma per quanto riguarda le disequazioni con i radicali passo la palla: a me viene in mente solo di vedere se in $1

Cita

Segnala