Studiare monotonia funzione
Un esercizio richiede di provare che f(x) ammette asintoto verticale x=1. (Ma questa consegna l'ho già svolta applicando la definizione di asintoto verticale)
Dire poi se f è monotona in qualche intorno di x=1, giustificando la risposta.
La funzione f(x) è
$f(x)=(x-1)^-1 + 2sin[(x-1)]^-1$
Non ho ben capito come fare a provare nell'intorno la monotonia. Pensavo di calcolarmi la derivata e studiarla distinguendo i casi in cui risulti crescente o decrescente...ma non so se sia corretto e inoltre come fare a considerare l'intorno di 1.
Vi ringrazio per le delucidazioni.
Alex
Dire poi se f è monotona in qualche intorno di x=1, giustificando la risposta.
La funzione f(x) è
$f(x)=(x-1)^-1 + 2sin[(x-1)]^-1$
Non ho ben capito come fare a provare nell'intorno la monotonia. Pensavo di calcolarmi la derivata e studiarla distinguendo i casi in cui risulti crescente o decrescente...ma non so se sia corretto e inoltre come fare a considerare l'intorno di 1.
Vi ringrazio per le delucidazioni.
Alex
Risposte
sì, trova la derivata prima e studiane il segno.
poi ti conviene distinguere tra intorno destro e intorno sinistro.
ciao.
poi ti conviene distinguere tra intorno destro e intorno sinistro.
ciao.
Grazie di cuore ada. 
prego!
Vi posto i risultati trovati:
calcolando la derivata prima della funzione ho trovato:
$-(1/(x-1)^2)(1+2cos(1/(x-1)))$
$1/(x-1)^2$ è una quantità positiva, pertanto posso studiare $(1+2cos(1/(x-1)))$...ehm...come faccio? ho sottovalutato l'equazione.
calcolando la derivata prima della funzione ho trovato:
$-(1/(x-1)^2)(1+2cos(1/(x-1)))$
$1/(x-1)^2$ è una quantità positiva, pertanto posso studiare $(1+2cos(1/(x-1)))$...ehm...come faccio? ho sottovalutato l'equazione.
io considererei il segno meno e porrei il totale >=0 quando la parentesi "incriminata" è <=0. otterresti $cos(1/(x-1))<=-1/2$, cioè $2/3 pi + 2k pi <= 1/(x-1) <= 4/3 pi + 2k pi$, però devi considerare separatamente l'intorno destro e l'intorno sinistro, per poter distinguere i casi in cui la frazione è positiva o negativa.
a quel punto devi fare attenzione ai segni, devi invertire, ed infine aggiungere 1 per risolvere rispetto ad x. però dubito che riusciresti ad individuare un intorno di 1. svolgere comunque i calcoli, e si otterrà, penso, comunque una risposta al quesito. spero di essere stata chiara.
ciao.
PS: vai con calma a fare i vari passaggi: sono "delicati".
a quel punto devi fare attenzione ai segni, devi invertire, ed infine aggiungere 1 per risolvere rispetto ad x. però dubito che riusciresti ad individuare un intorno di 1. svolgere comunque i calcoli, e si otterrà, penso, comunque una risposta al quesito. spero di essere stata chiara.
ciao.
PS: vai con calma a fare i vari passaggi: sono "delicati".
[quote=adaBTTLS]però devi considerare separatamente l'intorno destro e l'intorno sinistro, per poter distinguere i casi in cui la frazione è positiva o negativa.
a quel punto devi fare attenzione ai segni, devi invertire, ed infine aggiungere 1 per risolvere rispetto ad x. però dubito che riusciresti ad individuare un intorno di 1.[/quote]La prima parte non ho ben capito come fare a svolgerla, mentre la parte in corsivo è chiarissima. Scusami.
a quel punto devi fare attenzione ai segni, devi invertire, ed infine aggiungere 1 per risolvere rispetto ad x. però dubito che riusciresti ad individuare un intorno di 1.[/quote]La prima parte non ho ben capito come fare a svolgerla, mentre la parte in corsivo è chiarissima. Scusami.
otterresti $cos(1/(x-1))<=-1/2$, cioè $2/3 pi + 2k pi <= 1/(x-1) <= 4/3 pi + 2k pi$, però devi considerare separatamente l'intorno destro e l'intorno sinistro, per poter distinguere i casi in cui la frazione è positiva o negativa.
per come ho scritto la disequazione, se k è un numero intero, i due valori tra cui è compresa la frazione $1/(x-1)$ hanno lo stesso segno.
nell'intorno destro di 1, x-1>0, e quindi anche la frazione. k può essere positivo o nullo, non negativo.
analogamente nell'intorno sinistro (x-1<0). k deve essere negativo.
io ho provato a portare avanti i calcoli. non so se sono esatti, però ho ottenuto nei due casi:
1) x>1, k>=0 -> $1+3/((4+6k)pi)<=x<=1+3/((2+6k)pi)$
2) x<1, k<0, h>0 -> $1-3/(2pi(3h-2))<=x<=1-3/(2pi(3h-1))$
nessuno degli intervalli, con opportuni valori di h,k, può essere considerato un intorno (destro o sinistro) di 1.
spero sia chiaro. rivedi comunque i calcoli e prova anche a sostituire alcuni valori numerici alla variabile x, per vedere cosa potresti aspettarti.
ciao.
Grazie ada. Un abbraccio.
prego!
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