Studiare la seguente funzione
$f(x) = \log (\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4}) - |x - 2|$
Io dominio di $f$ si trova facendo $\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4} > 0$ e mi viene $\{(x > 0 ),(x > \log 2):}$ cioè $\mathbb{D} = (\log 2 , + oo) $
Inoltre nel punto $2$ il modulo è nullo e possiamo notare che $|x - 2| = {(x-2,if x>=2),(2 - x,if x<2):}$
Quindi $f(x) ={(\log (\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4}) - x + 2,if x>=2),(\log (\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4})+ x - 2,if x<2):}$
Posso procedere tranquillamente?
Io dominio di $f$ si trova facendo $\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4} > 0$ e mi viene $\{(x > 0 ),(x > \log 2):}$ cioè $\mathbb{D} = (\log 2 , + oo) $
Inoltre nel punto $2$ il modulo è nullo e possiamo notare che $|x - 2| = {(x-2,if x>=2),(2 - x,if x<2):}$
Quindi $f(x) ={(\log (\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4}) - x + 2,if x>=2),(\log (\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4})+ x - 2,if x<2):}$
Posso procedere tranquillamente?
Risposte
Si, però forse dovresti attendere un parere più autorevole del mio 
$\lim_{x->oo}$ $(\log (\frac{e^{2x} - e^x}{2e^x - 4}) - x + 2)$ $= (\log (e^x/2) - x + 2) = (x - \log e - x + 2 )= (x -x + 2) = 2$
In pratica ho detto che l'argomento del logaritmo è $\sim e^x$ e poi ho usato la proprietà dei logaritmi...è corretto?
Il limite per $x->-oo$ non avrebbe senso, però devo fare $x-> (\log 2)^+$ ?
In pratica ho detto che l'argomento del logaritmo è $\sim e^x$ e poi ho usato la proprietà dei logaritmi...è corretto?
Il limite per $x->-oo$ non avrebbe senso, però devo fare $x-> (\log 2)^+$ ?
Il dominio che hai indicato non è corretto, quello giusto è $ (-oo ,0 )U ( log2, +oo)$.
"Camillo":
Il dominio che hai indicato non è corretto, quello giusto è $ (-oo ,0 )U ( log2, +oo)$.
Si perché effettivamente bisogna fare il prodotto dei segni non vedere le soluzioni comuni visto che è una disequazione non un sistema, giusto?
"Camillo":
Il dominio che hai indicato non è corretto, quello giusto è $ (-oo ,0 )U ( log2, +oo)$.
è vero! ti stavo anche chiededo il perchè!
in pratica io ho messo al sistema mentre dovevo studiare il segno...in effetti prima di zero sia il numeratore che il denominatore sono negativi e quindi l'argomento è positivo! Grazie camillo 
"Obidream":
[quote="Camillo"]Il dominio che hai indicato non è corretto, quello giusto è $ (-oo ,0 )U ( log2, +oo)$.
Si perché effettivamente bisogna fare il prodotto dei segni non vedere le soluzioni comuni visto che è una disequazione non un sistema, giusto?[/quote]
sìsì e invece il limite che ho scritto?
ma quel logaritmo per $x->+infty$ non dovrebbe essere sempre $+infty$?
$lim_(x rarr +oo) f(x)=lim_(x rarr +oo) log (e^x/2)-x+2 =lim_(x rarr +oo) ( x-log2-x+2)=2-log 2$.
Invece $lim_(x rarr -oo)f(x)= -oo $.
Inoltre in $x=2 $ si ha un punto angoloso etc etc.
Invece $lim_(x rarr -oo)f(x)= -oo $.
Inoltre in $x=2 $ si ha un punto angoloso etc etc.
"Camillo":
$lim_(x rarr +oo) f(x)=lim_(x rarr +oo) log (e^x/2)-x+2 =lim_(x rarr +oo) ( x-log2-x+2)=2-log 2$.
quindi l'argomento del logaritmo è equivalente ad $(e^x)/2$?
"Camillo":
$lim_(x rarr +oo) f(x)=lim_(x rarr +oo) log (e^x/2)-x+2 =lim_(x rarr +oo) ( x-log2-x+2)=2-log 2$.
grazie per l'impegno, però ti volevo chiedere, a $+oo$ perchè $1/2 e^x$ non $\sim e^x$?
"Obidream":
[quote="Camillo"]$lim_(x rarr +oo) f(x)=lim_(x rarr +oo) log (e^x/2)-x+2 =lim_(x rarr +oo) ( x-log2-x+2)=2-log 2$.
quindi l'argomento del logaritmo è equivalente ad $(e^x)/2$?[/quote]
sì credo perchè essendo il logaritmo una funzione continua puoi fare $\log (\lim_{x->oo } f(x))$ quella roba verrebbe $e^x/2$ ma non mi è chiaro perchè non potrebbe essere solo $e^x$
Sì perchè per $ x rarr +oo $ l'argomento del logaritmo è asintotico a $ e^(2x)/(2e^x)= e^x/2$.
"Camillo":
Sì perchè per $ x rarr +oo $ l'argomento del logaritmo è asintotico a $ e^(2x)/(2e^x)= e^x/2$.
pensavo che in questi casi si poteva "approssimare" ulteriormente...grazie!
ah una cosa...se $\log (e^x/2) = \log e^x - \log (1/2) = x - (-) \log 2$ quindi il tutto viene $x + \log 2$.......no? 
NO, $log(a/b) =log a-logb $ e quindi $log(e^x/2)=log(e^x)-log 2 =x-log 2 $.
"Camillo":
NO, $log(a/b) =log a-logb $ e quindi $log(e^x/2)=log(e^x)-log 2 =x-log 2 $.
hai ragione scusami...per dire che $2$ è un punto angoloso bisogna fare il limite della derivata destra e di quella sinistra giusto? se sono finiti e non coincidono sono punti angolosi per definizione...ora ci provo!
Come la funzione $y=|x|$ ha un punto angoloso in $x=0 $ ( i limiti dei rapporti incrementali dx e sx in $ x=0 $ sono diversi e valgono $+-1 $) cosi anche $y=|x-2|$ ha un punto angoloso in $ x=2$.
Tornando al punto del limite per $ x rarr +oo $ è chiaro che se la funzione fosse stata semplicemente $ y=log( e^x/2)$ si avrebbe avuto $lim_(x rarr +oo) log(e^x/2)=lim_(x rarr +oo) ( x-ln 2 ) = +oo $ in quanto il contributo di $ln 2 $ sparisce di fronte a quello di $ x $ che tende a $ +oo $.
Nel caso nostro invece l'addendo $ x $ viene cancellato da $-x $ e resta quindi $2-ln 2 $ come valore del limite, essendo quindi $y= 2-ln 2 $ l'equazione dell'asintoto orizzontale destro.
Tornando al punto del limite per $ x rarr +oo $ è chiaro che se la funzione fosse stata semplicemente $ y=log( e^x/2)$ si avrebbe avuto $lim_(x rarr +oo) log(e^x/2)=lim_(x rarr +oo) ( x-ln 2 ) = +oo $ in quanto il contributo di $ln 2 $ sparisce di fronte a quello di $ x $ che tende a $ +oo $.
Nel caso nostro invece l'addendo $ x $ viene cancellato da $-x $ e resta quindi $2-ln 2 $ come valore del limite, essendo quindi $y= 2-ln 2 $ l'equazione dell'asintoto orizzontale destro.
P.S. Naturalemnte per completare lo studio della funzione si deve
calcolare i limite per $x rarr 0^(-) ; x rarr (ln 2)^(+) $ ed anche eventuali asintoti obliqui, la derivata prima con ricerca di eventuiali max e min locali...
calcolare i limite per $x rarr 0^(-) ; x rarr (ln 2)^(+) $ ed anche eventuali asintoti obliqui, la derivata prima con ricerca di eventuiali max e min locali...
"Camillo":
P.S. Naturalemnte per completare lo studio della funzione si deve
calcolare i limite per $x rarr 0^(-) ; x rarr (ln 2)^(+) $ ed anche eventuali asintoti obliqui, la derivata prima con ricerca di eventuiali max e min locali...
In pratica se $x->0^-$ nell'argomento del logaritmo bisogna mettere in evidenza ciò che ha l'esponente minore..no? l'argomento sarebbe:
$\frac{e^x (e^x -1)}{2e^x(1 - 2/e^x)} = \frac{e^x -1}{2(1 - 2/e^x)}$..?
grazie mille
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