Studiare la natura dei punti critici: Hessiana nulla
Buonasera a tutti, mi trovo in difficoltà nel determinare la natura di un punto critico nel caso di matrice Hessiana nulla, riporto un esercizio che presenta tale 'particolarità':
$ f(x,y)=(x-1)^2(x^2-y^2) $
Calcolo il gradiente di ƒ:
$ grad f=2(x-1)(x^2-y^2)+2x(x-1)^2, -2y(x-1)^2) $
Ricerca dei punti stazionari:
$ { ( f_x = (x-1)(4x^2-2y^2-2x) = 0 ),( f_y = -2y(x-1)^2 = 0 ):} $
Dalla seconda equazione si ha:
$ -2y(x-1)^2=0=>y=0 veex=1 $
$ y=0=>(x-1)(4x^2-2x)=0=>x=1,x=0,x=1/2 $
Perciò abbiamo i punti $ (1,0),(0,0),(1/2,0) $ con $ x=1 $ abbiamo un'intera retta di punti stazionari, perciò in definitiva abbiamo:
$(0,0),(1/2,0),(1,y_0) $
$ \mathcal(H)f=( ( 12x^2-2y^2-12x+2 , -4y(x-1) ),( -4y(x-1) , -2(x-1)^2 ) ) $
$ \mathcal(H)f_((0,0))=( ( 2 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ , indefinita: punto di sella.
$ \mathcal(H)f_((1/2,0))=( ( -1 , 0 ),( 0 , -1/2 ) ) $ , definita negativa: punto di max relativo.
$ \mathcal(H)f_((1,y_0))=( ( 2(1-y_0^2 , 0 ),( 0 , -1/2 ) ) $ , semidefinita: caso dubbio.
Pertanto, calcolando $f$ in $(1,y_0)$ ottengo: $f(1,y_0)=0$.
Se studio il comportamento della funzione in un intorno $U$ del punto (1,y_0) di raggio $epsi$ ottengo:
$ f(2,1)=3>0 $ , e ottengo valori positivi, pertanto punto di minimo.
$ f(-1,1)=0 $
Mentre in un intorno di $(1,+-1)$ $f$ cambia di segno, potrebbe trattarsi di altri punti di sella?
Non contento, cercando sul forum ho letto che devo studiare l'incremento della funzione col punto critico, e:
$ f(x,y)-f(1,y_0)>=0 $ è verificata, pertanto dovrebbe trattarsi di un punto di minimo.
E' giusto quanto da me scritto? Mi potreste consigliare metodi per studiare la Hessiana nulla?
$ f(x,y)=(x-1)^2(x^2-y^2) $
Calcolo il gradiente di ƒ:
$ grad f=2(x-1)(x^2-y^2)+2x(x-1)^2, -2y(x-1)^2) $
Ricerca dei punti stazionari:
$ { ( f_x = (x-1)(4x^2-2y^2-2x) = 0 ),( f_y = -2y(x-1)^2 = 0 ):} $
Dalla seconda equazione si ha:
$ -2y(x-1)^2=0=>y=0 veex=1 $
$ y=0=>(x-1)(4x^2-2x)=0=>x=1,x=0,x=1/2 $
Perciò abbiamo i punti $ (1,0),(0,0),(1/2,0) $ con $ x=1 $ abbiamo un'intera retta di punti stazionari, perciò in definitiva abbiamo:
$(0,0),(1/2,0),(1,y_0) $
$ \mathcal(H)f=( ( 12x^2-2y^2-12x+2 , -4y(x-1) ),( -4y(x-1) , -2(x-1)^2 ) ) $
$ \mathcal(H)f_((0,0))=( ( 2 , 0 ),( 0 , -2 ) ) $ , indefinita: punto di sella.
$ \mathcal(H)f_((1/2,0))=( ( -1 , 0 ),( 0 , -1/2 ) ) $ , definita negativa: punto di max relativo.
$ \mathcal(H)f_((1,y_0))=( ( 2(1-y_0^2 , 0 ),( 0 , -1/2 ) ) $ , semidefinita: caso dubbio.
Pertanto, calcolando $f$ in $(1,y_0)$ ottengo: $f(1,y_0)=0$.
Se studio il comportamento della funzione in un intorno $U$ del punto (1,y_0) di raggio $epsi$ ottengo:
$ f(2,1)=3>0 $ , e ottengo valori positivi, pertanto punto di minimo.
$ f(-1,1)=0 $
Mentre in un intorno di $(1,+-1)$ $f$ cambia di segno, potrebbe trattarsi di altri punti di sella?
Non contento, cercando sul forum ho letto che devo studiare l'incremento della funzione col punto critico, e:
$ f(x,y)-f(1,y_0)>=0 $ è verificata, pertanto dovrebbe trattarsi di un punto di minimo.
E' giusto quanto da me scritto? Mi potreste consigliare metodi per studiare la Hessiana nulla?
Risposte
"iH8u":
Mi potreste consigliare metodi per studiare la Hessiana nulla?
Lo studio del segno spesso aiuta.
La settimana scorsa ho imparato qualcosa di nuovo che potrebbe essere utile e che condivido 
viewtopic.php?p=844730#p844730
viewtopic.php?p=844730#p844730
Il fatto è che nel caso sopra citato il teorema di debreu, silvester, ecc ecc risultano inutili, pertanto l'unica soluzione valida credo sia lo studio della funzione in un intorno del punto critico, procedimento assai laborioso.
Ringrazio in ogni caso
Ringrazio in ogni caso
io accoglierei il suggerimento del moderatore e studierei il segno di $g(x,y)=x^2-y^2$
ciò è particolarmente utile visto che $f(1,y)=0,forall y$
ciò è particolarmente utile visto che $f(1,y)=0,forall y$
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