Studiare la differenziabilità e derivata direzionale di f(x,y)
Salve a tutti, ho la seguente funzione :
$ f(x,y)=(x*y)/(x^3+y^2) $
Dovrei studiare la differenziabilità e la derivata direzionale nel punto (0,0) su ogni direzione $ (lambda 1,lambda 2) $.
Allora la funzione non è differenziabile e questo lo capisco studiando la continuità della funzione attraverso la retta y=mx. Infatti il limite esce 1/m--> funzione non è continua-->non è differenziabile.
Per la derivata direzionale ora ho un dubbio..
Visto che la funzione non è continua in (0,0) posso subito dire che non ammette derivata direzionale? Oppure devo procedere calcolando il limite?
Grazie a tutti in anticipo.
$ f(x,y)=(x*y)/(x^3+y^2) $
Dovrei studiare la differenziabilità e la derivata direzionale nel punto (0,0) su ogni direzione $ (lambda 1,lambda 2) $.
Allora la funzione non è differenziabile e questo lo capisco studiando la continuità della funzione attraverso la retta y=mx. Infatti il limite esce 1/m--> funzione non è continua-->non è differenziabile.
Per la derivata direzionale ora ho un dubbio..
Visto che la funzione non è continua in (0,0) posso subito dire che non ammette derivata direzionale? Oppure devo procedere calcolando il limite?
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Devi controllare con la definizione.
La non continuità, giustamente, implica la non differenziabilità.
La non continuità in generale non implica però la non derivabilità lungo qualche direzione
ma domanda più importante; com’è definita questa funzione in $(x,y)=(0,0)$?
La non continuità in generale non implica però la non derivabilità lungo qualche direzione
ma domanda più importante; com’è definita questa funzione in $(x,y)=(0,0)$?
E' definita come 0. Ma la continuità in quel punto non sussiste.. Quindi mi stai dicendo che devo calcolare la derivata direzionale sostituendo a f(0,0) = 0?
Si
"anto_zoolander":
Si
Ti ringrazio, mi hai risolto un grosso dubbio. Comunque la derivata direzionale dovrebbe uscire $ oo $ giusto?
Quindi quella funzione non ammette nemmeno derivata direzionale..
Sicuro la funzione non sia prolungata per continuità? E' proprio la funzione della traccia di Analisi 2 di questa mattina 
"DeltaEpsilon":
Sicuro la funzione non sia prolungata per continuità? E' proprio la funzione della traccia di Analisi 2 di questa mattina
Hahah contento di aver trovato un mio collega. Comunque sì come dicevo ad anto è prolungata e vale 0 in (0,0). Per quanto riguarda la derivata direzionale quindi ci troviamo lo stesso risultato?
"0mi":
Hahah contento di aver trovato un mio collega.
Le coincidenze...
"0mi":
Per quanto riguarda la derivata direzionale quindi ci troviamo lo stesso risultato?
Personalmente mi trovo la funzione differenziabile in (0,0) dunque la derivata direzionale esiste in (0,0) qualunque sia la direzione.
"DeltaEpsilon":
[quote="0mi"]Hahah contento di aver trovato un mio collega.
Le coincidenze...
"0mi":
Per quanto riguarda la derivata direzionale quindi ci troviamo lo stesso risultato?
Personalmente mi trovo la funzione differenziabile in (0,0) dunque la derivata direzionale esiste in (0,0) qualunque sia la direzione.[/quote]
Hai provato anche sulla retta y=mx? Perchè il limite per x-->0 lì mi esce 1/m
"0mi":
Hai provato anche sulla retta y=mx? Perchè il limite per x-->0 lì mi esce 1/m
Esattamente...
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{mx^2}{x^3+m^2x^2} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{mx^2}{x^2(x+m^2)} \)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{m}{x+m^2} \)
Che evidentemente dipende da m, dunque non esiste.
Potrei aver sbagliato qualcosa (?) ma questo è stato il mio ragionamento.
"0mi":
[quote="anto_zoolander"]Si
Ti ringrazio, mi hai risolto un grosso dubbio. Comunque la derivata direzionale dovrebbe uscire $ oo $ giusto?
Quindi quella funzione non ammette nemmeno derivata direzionale..[/quote]
Quando poni $lim_(t->0)(f(tv_x,tv_y)-f(0,0))/t=lim_(t->0)(v_xv_yt^2)/(v_x^3t^4+v_y^2t^3)$
Questo limite esiste ogni volta che uno e soltanto uno tra $v_x,v_y$ è nullo e fa zero
se non ho fatto errori stupidi le derivate parziali esistono e sono nulle in $(0,0)$ ma non dovrebbero essere continue(il che rafforzerebbe l’ipotesi di non differenziabilita in $(0,0)$
"anto_zoolander":
[quote="0mi"][quote="anto_zoolander"]Si
Ti ringrazio, mi hai risolto un grosso dubbio. Comunque la derivata direzionale dovrebbe uscire $ oo $ giusto?
Quindi quella funzione non ammette nemmeno derivata direzionale..[/quote]
Quando poni $lim_(t->0)(f(tv_x,tv_y)-f(0,0))/t=lim_(t->0)(v_xv_yt^2)/(v_x^3t^4+v_y^2t^3)$
Questo limite esiste ogni volta che uno e soltanto uno tra $v_x,v_y$ è nullo e fa zero
se non ho fatto errori stupidi le derivate parziali esistono e sono nulle in $(0,0)$ ma non dovrebbero essere continue(il che rafforzerebbe l’ipotesi di non differenziabilita in $(0,0)$[/quote]
Anto ma se uno dei due fa zero significa praticamente scegliere come direzione (Vx,0) oppure (0,Vy) giusto? Perciò visto che il modulo |(Vx,0)|=1-->Vx=1 oppure Vy=1. Quindi posso dire che non esiste derivata direzionale in (0,0) eccetto che nelle direzioni (1,0) e (0,1)?
Si se li consideri modulo=1 le derivate sensate sono soltanto quelle parziali
"anto_zoolander":
Si se li consideri modulo=1 le derivate sensate sono soltanto quelle parziali
Ok Grazie mille anto. Purtroppo come ben avrai capito questo era un compito di Analisi II e ahimè ho dimenticato di mettere la discussione sulle derivate parziali che abbiamo appena concluso. Speriamo non lo consideri errore grave.
Grazie ancora e buona serata.
Figurati 
Ti invito però a controllare i conti perché li ho fatti a occhio diciamo
Buona fortuna per l’orale
Ti invito però a controllare i conti perché li ho fatti a occhio diciamo
Buona fortuna per l’orale
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