Studiare la convergenza di un integrale
Salve a tutti, Analisi I è andata male, ma non mi arrendo cosi facilmente, quindi eccomi qui a torturare ancora Ciampax ( grazie per avermi fatto capire il buon Mclaurin) 
$\int_1^infty(e^x)/x dx$
Io so che dovrei muovermi sfruttando il teorema del confronto; in questo caso la funzione che dovrei usare per il confronto è questa: $int_1^infty 1/(x^\alpha) dx$ sapendo che questo integrale converge se e solo se $\alpha>1$ e diverge se $\alpha<=1$
So che la funzione per $x \to \infty$ tende a $infty$ ma poi come faccio a confrontarla con il mio "integrale campione"?
$\int_1^infty(e^x)/x dx$
Io so che dovrei muovermi sfruttando il teorema del confronto; in questo caso la funzione che dovrei usare per il confronto è questa: $int_1^infty 1/(x^\alpha) dx$ sapendo che questo integrale converge se e solo se $\alpha>1$ e diverge se $\alpha<=1$
So che la funzione per $x \to \infty$ tende a $infty$ ma poi come faccio a confrontarla con il mio "integrale campione"?
Risposte
Al numeratore hai una funzione che per $ x rarr +oo $ diverge a $+oo $ più rapidamente di qualunque funzione polinomiale, quindi...
è abbastanza intuitivo dire che diverge a $+infty$? ormai ho i dubbi su qualunque cosa...
e se invece fosse:
$\int_1^infty (1+e^-x)/x^2 dx$ come suggerisci di iniziare?
e se invece fosse:
$\int_1^infty (1+e^-x)/x^2 dx$ come suggerisci di iniziare?
Non ce n'è bisogno. Infatti, come hai constatato $f(x) = e^x/x$ ha limite infinito per $x -> +oo$ e questo ti basta per dire che l'integrale improprio non esiste (o non converge, come preferisci dire..).
Se vuoi formalizzare il tutto, hai che $AA M > 0 , EE p in (0,+oo)$ tale che $AA x > p , f(x) > M$.
Tanto per fissare le idee, prendi $M = 1$. Avrai allora che:
$int_1^oo e^x/x dx = int_1^p e^x/x dx + int_p^oo e^x/x dx >= int_1^p e^x/x dx + int_p^oo 1 dx$ perché in $[p,+oo)$ hai la minorazione data dalla definizione di limite.
Ma $int_p^oo 1 dx = lim_(epsilon -> +oo) int_p^epsilon dx = lim_(epsilon -> +oo) epsilon - p = +oo$ ...
Se vuoi formalizzare il tutto, hai che $AA M > 0 , EE p in (0,+oo)$ tale che $AA x > p , f(x) > M$.
Tanto per fissare le idee, prendi $M = 1$. Avrai allora che:
$int_1^oo e^x/x dx = int_1^p e^x/x dx + int_p^oo e^x/x dx >= int_1^p e^x/x dx + int_p^oo 1 dx$ perché in $[p,+oo)$ hai la minorazione data dalla definizione di limite.
Ma $int_p^oo 1 dx = lim_(epsilon -> +oo) int_p^epsilon dx = lim_(epsilon -> +oo) epsilon - p = +oo$ ...
$\int_1^infty (1+e^-x)/x^2 dx$
Il libro fa questo ragionamento:
La funzione è sicuramente continua in $[1,+infty)$
$e^-x<=1$ per $x>=0$ quindi $1+e^-x<=2$ per $x>=0$
Quindi:
$\int_1^infty (1+e^-x)/x^2 dx <= \int_1^infty(1/x^2) dx$
Poiché $\int_1^infty(1/x^2) dx$ converge, ($\alpha=2$) allora converge anche l'integrale di partenza.
come mai dice che il numeratore è minore o uguale di 1 ( è semplice da verificare ma non ne capisco il senso)?
Il libro fa questo ragionamento:
La funzione è sicuramente continua in $[1,+infty)$
$e^-x<=1$ per $x>=0$ quindi $1+e^-x<=2$ per $x>=0$
Quindi:
$\int_1^infty (1+e^-x)/x^2 dx <= \int_1^infty(1/x^2) dx$
Poiché $\int_1^infty(1/x^2) dx$ converge, ($\alpha=2$) allora converge anche l'integrale di partenza.
come mai dice che il numeratore è minore o uguale di 1 ( è semplice da verificare ma non ne capisco il senso)?
please, qualcuno può fare uno sguardo? 
Hai ragione, ci manca il $2$.
intendeva dire una cosa del genere: $\int_1^infty (1+e^-x)/x^2 dx <= \int_1^infty 2/x^2 dx= 2 \int_1^infty 1/x^2 dx$
intendeva dire una cosa del genere: $\int_1^infty (1+e^-x)/x^2 dx <= \int_1^infty 2/x^2 dx= 2 \int_1^infty 1/x^2 dx$
Quindi dice che su una semiretta $[1,+infty)$ l'integrale di partenza è minore o uguale di $1int_1^infty 2/x^2 dx$ per usare i criteri di convergenza?
Esatto
Grazie
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