Studiare la convergenza della serie:
$\sum_{n=1}^oo nsin(n/(1+n^3))$
Come mi conviene procedere?
Il confronto mi porta a maggiorare con serie divergenti e quindi non arrivo da nessuna parte...Ho escluso criteri come il rapporto o la radice
Come mi conviene procedere?
Il confronto mi porta a maggiorare con serie divergenti e quindi non arrivo da nessuna parte...Ho escluso criteri come il rapporto o la radice
Risposte
Il criterio del rapporto e quello della radice non ti dicono nulla in casi come questo, il termine generale non decade in modo sufficientemente rapido. Infatti secondo me quella serie diverge. Prova ad adoperare il confronto asintotico, dopo avere dimostrato che si tratta di una serie di termini a segno (definitivamente) costante.
è quello che ho fatto...Cioè ho considerato la serie dei valori assoluti usando il fatto che |sinn|<1...Solo che arrivo a considerare la serie che mi interessa minore di una serie divergente e questo non mi dice nulla..
No, no, io parlo di confronto asintotico.
Allora devo pensare bene alla successione b_n da scegliere per il confronto ...In modo tale da farmi uscire un numero reale nel passaggio al limite con a_n (la serie assegnata)
PS e come dimostro che che si tratta di una serie di termini a segno (definitivamente) costante? Non posso passare alla serie dei valori assoluti?
PS e come dimostro che che si tratta di una serie di termini a segno (definitivamente) costante? Non posso passare alla serie dei valori assoluti?
Sai approssimare $sin\ x$ quando $x \to 0$ ?
Anche se è una successione, questo concetto funziona lo stesso...
Anche se è una successione, questo concetto funziona lo stesso...
La stai facendo più difficile di quanto non sia. Intanto, il fatto che il segno sia costante è facile, basta dimostrare che
\[\frac{n}{1+n^3} \in [0, \pi]\]
per ogni \(n\). E questo è ovvio. Quindi non occorre passare ai valori assoluti perché la serie è a termini positivi.
Ora si confronta asintoticamente. Siccome
\[\frac{\sin(x)}{x} \to 1, \qquad x \to 0\]
allora
\[\frac{\sin\left( \frac{n}{1+n^3}\right)}{\frac{n}{1+n^3}} \to 1,\qquad n \to \infty.\]
Giusto? Perciò il termine generale è asintoticamente equivalente a \(\frac{n^2}{1+n^3}\). Siccome la serie è a termini positivi, possiamo allora studiare
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{1+n^3}\]
sapendo che essa ha lo stesso carattere della serie assegnata.
\[\frac{n}{1+n^3} \in [0, \pi]\]
per ogni \(n\). E questo è ovvio. Quindi non occorre passare ai valori assoluti perché la serie è a termini positivi.
Ora si confronta asintoticamente. Siccome
\[\frac{\sin(x)}{x} \to 1, \qquad x \to 0\]
allora
\[\frac{\sin\left( \frac{n}{1+n^3}\right)}{\frac{n}{1+n^3}} \to 1,\qquad n \to \infty.\]
Giusto? Perciò il termine generale è asintoticamente equivalente a \(\frac{n^2}{1+n^3}\). Siccome la serie è a termini positivi, possiamo allora studiare
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{1+n^3}\]
sapendo che essa ha lo stesso carattere della serie assegnata.
Ah, ho capito. Non pensavo di poter applicare il teorema del limite delle funzioni composte anche nelle successioni.
Grazie mille!
Grazie mille!
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