Studiare la convergenza della serie

[reanto91]

salve avrei bisogno del vostro aiuto per questo esercizio;
studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sqrt[n]{n}-1 \right )^{n}cos(n^{3}-2^{n})[/math]

grazie..

[ciampax]

Tu cosa hai provato a fare? (A questo punto dovresti iniziare a farti venire qualche idea, se no l'esame lo fai col piffero... e non intendo che riesci ad ammansire il Prof. suonando dolci melodie tipo fachiro).

[reanto91]

ok.. è giusto..
allora ho provato così.. dimmi se è sbagliato:
Usiamo il criterio della radice.

[math]\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\left ( n^{\frac{1}{n}}-1 \right )=0< 1[/math]

Infatti

[math]\lim_{n \to \infty }n^{\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty }e^{\frac{1}{n}log(n)}=e^{0}=1[/math]

Pertanto la serie converge.
è giusto fammi sapere..

[rino6999]

questa volta sei stato tu troppo veloce
qualcuno potrebbe chiederti : "e il coseno che fine ha fatto ? "
qualcun altro potrebbe dirti : " la serie non è a termini positivi"
quello che hai scritto è giusto ma va alla fine ............
ispirati al penultimo esercizio che hai postato

[reanto91]

cioè puoi spiegarti meglio...
grazie..

[rino6999]

devi prima considerare la serie a termini positivi che deriva da quella di partenza e poi,tenendo conto del codominio del coseno,verificare che essa è maggiorata dalla serie il cui termine generale si ottiene da quello di partenza omettendo il coseno

[reanto91]

scusa me lo potresti scrivere...
sto andando in confusione..
grazie..

[rino6999]

consideriamo la serie a termini positivi,di termine generale

[math](\sqrt[n]{n}-1)^n|cos(n^3-2^n)|\\[/math]

essendo

[math]|cosx|\leq1\\[/math]

la serie è maggiorata dalla serie di termine generale

[math](\sqrt[n]{n}-1)^n\\[/math]

che,come tu hai dimostrato,converge
quindi,la serie di partenza converge assolutamente

[reanto91]

grazie