Studiare la convergenza della serie

[_marco_dn_]

Buongiorno a tutti
Mi sono inbattuto nello studio di due serie che non riesco a risolvere:
$1) sum_(n=1)^oo (n^n)/(3^n*n!) $
$2) sum_(n =1)^oo (root(n)(3)-1 )^alpha $ al variare di $alpha in R$
il problema che sto riscontrando è che non riesco ad impostare un metodo che possa consentirmi di definire la loro divergenza o convergenza , qualcuno può aiutarmi ?

[Antimius]

Per la prima prova a usare il criterio della radice.
Per la seconda, osserva innanzitutto che per $\alpha <0$ la serie è divergente, perché è una serie a termini positivi e la condizione necessaria per la convergenza ($a_n \to 0$) non è soddisfatta. Per $\alpha >0$ osserva che $root(n)(3) -1$ \(\displaystyle \sim \frac{\log 3}{n} \)

[pilloeffe]

Ciao _marco_dn_,

Per dimostrare la convergenza della prima serie penso che sia più comodo il criterio del rapporto;
per quanto riguarda la seconda serie, che diverge anche per $\alpha = 0$, seguendo le corrette indicazioni che ti ha già dato Antimius per $\alpha > 0$ si trova:

[tex]\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}(\sqrt[n]{3} -1)^{\alpha} \sim \sum_{n = 1}^{+\infty}\bigg(\frac{\log 3}{n}\bigg)^{\alpha} = {(\log 3)}^{\alpha}\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}[/tex]

In definitiva si ha:

[tex]\begin{equation}
\boxed{S(\alpha) = \sum_{n = 1}^{+\infty}(\sqrt[n]{3} -1)^{\alpha} \text{è}
\begin{cases}
& \text{divergente se $\alpha \le 1$}\\
& \\
& \text{convergente se $\alpha > 1$}
\end{cases}}
\end{equation}[/tex]

[_marco_dn_]

Vi ringrazio tantissimi per le risposte!! Proverò a risolverle così come mi avete consiliato