Studiare la convergenza della serie

[87Fra87]

Come da titolo come si fà a capire se la serie diverge o converge?

$ sum_(n = 0)^(+oo) ((2n + 1)^2) / ((2n+1)!) $

Ho provato con il criterio del rapporto solo che non riesco a "venirne fuori" il criterio degli infinitesimi non mi sembra che vada bene come si risolve?

[gugo82]

Si possono usare vari metodi, ma il criterio del rapporto mi pare quello più semplice.

Infatti, detti \(a_n\) gli addendi della serie, trovi:
\[
\begin{split}
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} &= \frac{\frac{(2n+3)^2}{(2n+3)!}}{\frac{(2n+1)^2}{(2n+1)!}}\\
&= \frac{(2n+3)^2}{(2n+1)^2}\ \frac{(2n+1)!}{\underbrace{(2n+3)!}_{=(2n+3)(2n+2)\cdot (2n+1)!}}\\
&= \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^2\ \frac{1}{(2n+3)(2n+2)}
\end{split}
\]
e da qui concludi subito.

[87Fra87]

Ho fatto il limite e mi esce zero quindi la serie converge giusto?
Nel caso l'esercizio mi chiedesse di calcolare il resto a meno di $ 1/200 $ come dovrei procedere? Cioè mi potrei ricondurre ad un'altra serie (tipo armonica generalizzata) in modo tale da poter calcolare il resto?

[gugo82]

"87Fra87":Ho fatto il limite e mi esce zero quindi la serie converge giusto?

Yes, of course.

"87Fra87":Nel caso l'esercizio mi chiedesse di calcolare il resto a meno di $ 1/200 $ come dovrei procedere? Cioè mi potrei ricondurre ad un'altra serie (tipo armonica generalizzata) in modo tale da poter calcolare il resto?

L'idea è quella di fornire qualche stima per il resto ed, usando tale stima, ricavare un ragionavole valore dell'indice a cui troncare la somma.
In altri termini, se hai una serie \(\sum a_n\) convergente ad \(S\), e sai determinare una successione \((x_n)\) che tende a zero e tale che:
\[
\left|S-\sum_{n=0}^N a_n\right| \leq x_N
\]
per ogni \(N\) sufficientamente grande, detto \(\varepsilon >0\) il valore prefissato della tolleranza sull'approssimazione, hai:
\[
x_N<\varepsilon \qquad \Rightarrow \qquad \left|S-\sum_{n=0}^N a_n\right| <\varepsilon
\]
sicché se \(\nu\) è il più piccolo intero tale che \(x_N<\varepsilon\) per ogni \(N\geq \nu\), è chiaro che il valore \(S_\nu := \sum_{n=0}^\nu a_n \) è la prima approssimazione di \(S\) che soddisfa la tolleranza richiesta.

Nel caso in esame, hai:
\[
\begin{split}
\left| S-\sum_{n=0}^N \frac{(2n+1)^2}{(2n+1)!}\right| &= \sum_{n=N+1}^\infty \frac{(2n+1)^2}{(2n+1)!}\\
&= \sum_{n=N+1}^\infty \frac{2n+1}{(2n)!}\\
&\leq \sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n!}\; ,
\end{split}
\]
con l'ultima disuguaglianza giustificata dal fatto che:
\[
\begin{split}
\frac{2n+1}{(2n)!} &= \frac{2n+1}{2n\cdot (2n-1)\cdots (n+2)\cdot (n+1)}\ \frac{1}{n!} \\
&\leq \frac{2n+1}{(n+2)(n+1)}\ \frac{1}{n!}\\
&= \underbrace{\frac{2n+1}{n^2+3n+1}}_{< 1}\ \frac{1}{n!}\\
&< \frac{1}{n!}\; .
\end{split}
\]
Ricordando che la serie \(\sum \frac{1}{n!}\) è la serie esponenziale e che per tale serie vale la stima del resto:
\[
\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n!} = e - \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{N\ N!}
\]
(cfr. Giusti, Analisi Matematica 1, Boringhieri), hai:
\[
\left| S-\sum_{n=0}^N \frac{(2n+1)^2}{(2n+1)!}\right| \leq \frac{1}{N\ N!}\; .
\]
Conseguentemente, per ottenere l'approssimazione che ti serve basta scegliere \(N=\nu\), in cui \(\nu\) è il primo indice tale che:
\[
\frac{1}{n\ n!} < \frac{1}{200}\qquad \Leftrightarrow \qquad n\ n!>200\; .
\]
Con un po' di prove, si vede che la disuguaglianza è soddisfatta per ogni \(n\geq 5=:\nu\), ergo l'approssimazione della somma che stai cercando è:
\[
S_5 = \sum_{n=0}^5 \frac{(2n+1)^2}{(2n+1)!} = 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{24} + \frac{7}{720} + \frac{1}{4480} + \frac{11}{3628800} = \frac{9864101}{3628800} \approx 2.718\; .
\]

***

Tuttavia noto che la somma della serie si può calcolare anche esplicitamente.
Invero, si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n+1)^2}{(2n+1)!} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{(2n)!}\\
&= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{(2n)!}\\
&= 1 + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2n}{(2n)!} + \frac{1}{(2n)!}\right)\\
&= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)!} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!}\\
&= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!}\\
&= \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{(2m+1)!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!}\\
&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\\
&= e\; .
\end{split}
\]