Studiare la convergenza Assoluta-Semplice della seguente serie

[giannigiaggianese]

Salve,
Ho un problema con la seguente serie numerica $ sum_(n =0 \ldots) (sin((6(n)^(1/2)-1)/(2(n)^(1/2)+12)))^(3n) $
L'esercizio chiede di studiare la convergenza assoluta-semplice, non riesco a vedere il segno alterno qualcuno che magari mi illumina e che la risolva ?

[LukeV98]

Il segno alterno è dato dalla funzione seno

[dissonance]

"Condizione necessaria alla convergenza" ti dice niente?

[LukeV98]

Scusate ma visto che il limite a + infinito è zero, come potrebbe aiutarlo la condizione necessaria??

[dissonance]

Hai ragione sul fatto che il termine generale tende a zero, quindi il mio commento precedente non serve, mi sono sbagliato. Mentre non hai ragione sul fatto che si tratti di una serie a segni alterni. Si tratta di una serie a termini definitivamente positivi che converge, per il criterio della radice.

[giannigiaggianese]

Quindi come avevo intuito non è a segni alterni, si avevo provato a risolverla con il criterio della radice e anche a me risulta essere convergente solo che siccome chiedeva lo studio della convergenza assoluta pensavo che alle lunghe al variare di n quel rapporto oscillasse in modo da renderla a segni alterni.Se riuscite a caricare anche voi una soluzione ve ne sarei grato in modo da confrontarmi.

[pilloeffe]

Ciao giannigiaggianese,

Benvenuto sul forum!

A parte il caso $n = 0 $, in cui si ha $sin(-1/12) < 0 $ e quindi $[sin(-1/12)]^0 = 1 $, non è difficile verificare che l'argomento del seno $frac{6(n)^(1/2) - 1}{2(n)^(1/2) + 12} < 3 \quad \AA n > 0 $ e quindi $0 < sin(frac{6(n)^(1/2) - 1}{2(n)^(1/2) + 12}) < 1 \implies lim_{n \to +infty} a_n = lim_{n \to +infty} [sin(frac{6(n)^(1/2) - 1}{2(n)^(1/2) + 12})]^{3n} = 0 $ e per il criterio della radice già citato da dissonance si ha $lim_{n \to +infty} root[n]{a_n} = lim_{n \to +infty} [sin(frac{6(n)^(1/2) - 1}{2(n)^(1/2) + 12})]^{3} < 1 $: si conclude che la serie proposta è convergente.

[giannigiaggianese]

Grazie Mille