Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie
Ciao a tutti, un esercizio mi chiede di studiare la convergenza assoluta e semplice della seguente serie al variare del parametro $ a $:
$ sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^n|a-1|^n(n!)/((n+1)!-n!+1 $
La serie è a segni alterni a causa di $ (-1)^n $.
Inoltre essendo presenti degli elementi fattoriali, sarebbe meglio usare il criterio del rapporto in quanto questi termini dovrebbero semplificarsi.
Il problema ora è che non riesco ad impostare l'esercizio.. come dovrei continuare?
Inoltre quel modulo all'inizio della frazione come lo devo trattare?
Grazie a tutti
$ sum_(n = 1)^(+oo) (-1)^n|a-1|^n(n!)/((n+1)!-n!+1 $
La serie è a segni alterni a causa di $ (-1)^n $.
Inoltre essendo presenti degli elementi fattoriali, sarebbe meglio usare il criterio del rapporto in quanto questi termini dovrebbero semplificarsi.
Il problema ora è che non riesco ad impostare l'esercizio.. come dovrei continuare?
Inoltre quel modulo all'inizio della frazione come lo devo trattare?
Grazie a tutti
Risposte
Ciao, proprio come hai detto, utilizziamo il criterio del rapporto e calcoliamo il limite:
\[\lim_{n \to \infty }\frac{|a-1|^{n+1}(n+1)!((n+1)!-n!+1)}{((n+2)(n+1)!-(n+1)!+1)n!|a-1|^{n}}\]
Facendo calcoli, semplificazioni, messe in evidenza e quant'altro, riusciamo ad arrivare alla forma:
\[\lim_{n \to \infty }|a-1|\frac{(n^2+n)n!+1}{n!(n+1)^2+1}\]
In cui puoi notare che:
\[\lim_{n \to \infty }\frac{(n^2+n)n!+1}{n!(n+1)^2+1}=1\]
Pertanto il risultato del limite dipende unicamente dal termine $|a-1|$, rispettando quanto dice il criterio del rapporto, la serie converge assolutamente (e quindi anche semplicemente) se e solo se:
\[|a-1|<1\,\,\,\,\Rightarrow -1
Ti faccio notare che volendo essere puntigliosi, al momento di studiare la convergergenza assoluta, il modulo all'inizio della frazione dovrebbe diventare $||a-1||$, ma già di per se il modulo restituisce un risultato privo di segno, quindi calcolare il modulo del modulo di una stessa quantità singifica calcolarlo una sola volta e possiamo quindi lasciare $|a-1|$ all'interno del limite.
\[\lim_{n \to \infty }\frac{|a-1|^{n+1}(n+1)!((n+1)!-n!+1)}{((n+2)(n+1)!-(n+1)!+1)n!|a-1|^{n}}\]
Facendo calcoli, semplificazioni, messe in evidenza e quant'altro, riusciamo ad arrivare alla forma:
\[\lim_{n \to \infty }|a-1|\frac{(n^2+n)n!+1}{n!(n+1)^2+1}\]
In cui puoi notare che:
\[\lim_{n \to \infty }\frac{(n^2+n)n!+1}{n!(n+1)^2+1}=1\]
Pertanto il risultato del limite dipende unicamente dal termine $|a-1|$, rispettando quanto dice il criterio del rapporto, la serie converge assolutamente (e quindi anche semplicemente) se e solo se:
\[|a-1|<1\,\,\,\,\Rightarrow -1
Ti faccio notare che volendo essere puntigliosi, al momento di studiare la convergergenza assoluta, il modulo all'inizio della frazione dovrebbe diventare $||a-1||$, ma già di per se il modulo restituisce un risultato privo di segno, quindi calcolare il modulo del modulo di una stessa quantità singifica calcolarlo una sola volta e possiamo quindi lasciare $|a-1|$ all'interno del limite.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Ho solo un dubbio nel tuo procedimento.
Ma quel $ |a-1| $ non deve essere suddiviso in base al valore di $ a $?
Cioè io procederei con:
$ a=0 $
$ a!=1 $
$ a=2 $
Se è così dovrei applicare per ogni caso il criterio del rapporto?
Inoltre perchè quel $ (-1)^n $ non va calcolato durante il criterio del rapporto? e quindi anche nel limite..
Ho solo un dubbio nel tuo procedimento.
Ma quel $ |a-1| $ non deve essere suddiviso in base al valore di $ a $?
Cioè io procederei con:
$ a=0 $
$ a!=1 $
$ a=2 $
Se è così dovrei applicare per ogni caso il criterio del rapporto?
Inoltre perchè quel $ (-1)^n $ non va calcolato durante il criterio del rapporto? e quindi anche nel limite..
Rieccomi, dal momento in cui la tua serie è a termini alterni ( o comunque non ne conosci il segno inizialmente ) devi studia la convergenza assoluta. Studi cioè la serie che ha come termine generico il modulo del termine generico della tua serie di partenza. Per questo motivo il termine $(-1)^n$ scompare sia dal termine generico che dal limite (calcolare un limite a "segni alterni" non ha molto senso, non può esistere quasi mai). Riguardo al termine $|a-1|$ non credo sia necessario procedere in quel modo, inoltre hai scritto $a != 1$, ma se tu nel termine generico poni $a=1$ il termine generico si annulla, il che equivale a dire che la serie converge a 0!
Capito grazie mille per pazienza.
Ti posso chiedere un ultima cosa riguardante un'altra serie?
$ sum_(n = 1)^(+oo)1/n^3[1/(12)*1/(n^4)+coshsenh1/n-e^(1/(2n^2))-e^(-2n)cosn]^a $
Come faccio a capire se ha segno costante o alterno?
Inoltre qui vado ad utilizzare il confronto asintotico (perchè è una serie non fratta) e quindi vado a trovare la funzione asintotica tramite gli sviluppi di taylor giusto?
Grazie mille
Ti posso chiedere un ultima cosa riguardante un'altra serie?
$ sum_(n = 1)^(+oo)1/n^3[1/(12)*1/(n^4)+coshsenh1/n-e^(1/(2n^2))-e^(-2n)cosn]^a $
Come faccio a capire se ha segno costante o alterno?
Inoltre qui vado ad utilizzare il confronto asintotico (perchè è una serie non fratta) e quindi vado a trovare la funzione asintotica tramite gli sviluppi di taylor giusto?
Grazie mille
Un modo per capire il segno del termine generico è quello di studiare il suo comportamento quando $n->oo$, in particolare il termine che ti da problemi è
$ [1/(12)*1/(n^4)+coshsenh1/n-e^(1/(2n^2))-e^(-2n)cosn] $
Prova a calcolare il limite:
$ lim_(n->oo) [1/(12)*1/(n^4)+coshsenh1/n-e^(1/(2n^2))-e^(-2n)cosn] $
In base al segno del limite puoi capire come si comporta il termine man mano che n aumenta, inoltre ricorda che la serie può converge se e solo se il termine generico tende a 0 quando n tende ad infinito, per tanto dal risultato che ottieni dal limite guarda per quali $a$ esso può tendere a 0. Dopo aver fatto quest'analisi preliminare, procedi con gli sviluppi di Taylor ( non mi sembra ci siano alternative ) e trova una funzione asintotica dalla quale concludere lo studio.
$ [1/(12)*1/(n^4)+coshsenh1/n-e^(1/(2n^2))-e^(-2n)cosn] $
Prova a calcolare il limite:
$ lim_(n->oo) [1/(12)*1/(n^4)+coshsenh1/n-e^(1/(2n^2))-e^(-2n)cosn] $
In base al segno del limite puoi capire come si comporta il termine man mano che n aumenta, inoltre ricorda che la serie può converge se e solo se il termine generico tende a 0 quando n tende ad infinito, per tanto dal risultato che ottieni dal limite guarda per quali $a$ esso può tendere a 0. Dopo aver fatto quest'analisi preliminare, procedi con gli sviluppi di Taylor ( non mi sembra ci siano alternative ) e trova una funzione asintotica dalla quale concludere lo studio.
Il limite risulta zero quindi la condizione necessaria per la convergneza è verificata in quanto il termine generale è un infinitesimo.
Ma in questo caso il risultato essendo zero non ha segno, quindi come faccio a capire se la serie ha segno costante?
Ma in questo caso il risultato essendo zero non ha segno, quindi come faccio a capire se la serie ha segno costante?
il fatto che tende a zero in realtà non ti dice che è esattamente 0, al più infatti può tendere a 0 da destra o da sinistra, se tende a 0 da destra il termine è positivo, se tende a 0 da sinistra è negativo. Non ti resta che capire (intuitivamente anche) se è una quantità poco più grande di 0 o poco più piccola
Ma come faccio a capire se è una quantità leggermente più grande o più piccola di zero? Cioè il risultato del limite è zero.. non riesco a capire come potrei vedere "il segno"..
In effetti non è proprio semplice capirlo, se sei così in dubbio conviente proseguire direttamente con lo studio della convergenza assoluta ed eliminare ogni dubbio
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