Studiare la convergenza
salve avrei bisogno del vostro aiuto per questo esercizio;
studiare la convergenza della serie:
$\sum_{n=1}^{\infty } (\frac{n+ sin(n)}{3n-arctan (n)} )^{n}sin(3n^{2}-4)$
grazie..
studiare la convergenza della serie:
$\sum_{n=1}^{\infty } (\frac{n+ sin(n)}{3n-arctan (n)} )^{n}sin(3n^{2}-4)$
grazie..
Risposte
be anzitutto cerca di capire se si tratta di una serie a termini positivi, in modo da poter applicare eventualmente i criteri relativi....
si ho controllato la serie è a termini positivi... quindi potrei utilizzare o il teorema della radice o quello del confronto..giusto??
fattemi sapere..grazie
fattemi sapere..grazie
Mi sa che hai conrollato male, in quanto quella serie non è a termini positivi. Infatti la presenza di $\sin(3n^2-4)$ cambia il segno della serie, poichè il seno oscilla tra $-1$ e $1.$ L'idea di applicare il criterio della radice è buona, ma vanno fatto alcune precisazioni prima: non essendo a termini positivi, siamo costretti a considerare il valore assoluto del termine generale per poter applicare i criteri relativi, quindi:
\begin{align}
\left| \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\sin(3n^{2}-4)\right|=\left| \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\right|\cdot \left|\sin(3n^{2}-4)\right|;
\end{align}
a questo punto possiamo osservare che il primo fattore è senz'altro sempre positivo poichè
\begin{align}
00,\qquad\forall n\ge1,
\end{align}
mentre il secondo fattore è senz'altro in modulo minore di $1,$ poichè $|\sin x|\le1,\forall x;$ allora
\begin{align}
\left| \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\right|\cdot\left|\sin(3n^{2}-4)\right|= \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n} \cdot\left|\sin(3n^{2}-4)\right|\le \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n};
\end{align}
a questo punto puoi applicare il criterio della radice al termine generale della serie a termini positivi:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}},
\end{align}
e concludere.
\begin{align}
\left| \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\sin(3n^{2}-4)\right|=\left| \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\right|\cdot \left|\sin(3n^{2}-4)\right|;
\end{align}
a questo punto possiamo osservare che il primo fattore è senz'altro sempre positivo poichè
\begin{align}
0
\end{align}
mentre il secondo fattore è senz'altro in modulo minore di $1,$ poichè $|\sin x|\le1,\forall x;$ allora
\begin{align}
\left| \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\right|\cdot\left|\sin(3n^{2}-4)\right|= \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n} \cdot\left|\sin(3n^{2}-4)\right|\le \left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n};
\end{align}
a questo punto puoi applicare il criterio della radice al termine generale della serie a termini positivi:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} \right)^{n}},
\end{align}
e concludere.
si ha quindi che:
$\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n](\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} )^{n} $
$\lim_{n \to +\infty}(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} )=\frac{1}{3}$
Poichè il risultato è minore di 1, la serie converge per il criterio della radice.
$\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n](\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} )^{n} $
$\lim_{n \to +\infty}(\frac{n+ \sin n}{3n-\arctan n} )=\frac{1}{3}$
Poichè il risultato è minore di 1, la serie converge per il criterio della radice.
è giusto??
si!
ok grazie mille
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