Studiare il segno della soluzione di una funzione differenziale di 1°ordine

[Dex97]

Buongiorno, facendo una vecchia prova di analisi 1, mi sono imbattuto nel dover studiare il segno della soluzione di un'equazione differenziale di 1° ordine per studiarne la monotonia.
L'equazione è la seguente $ y(x) = [e^x(x^2-2x+2)-e]/x^2 $ Qualcuno riesce a darmi una mano?

[pilloeffe]

Ciao Dex97,

Benvenuto sul forum!

Non vedo alcuna equazione differenziale...
O quella che hai scritto è la soluzione dell'equazione differenziale che non hai scritto?

[feddy]

Benvenuto sul forum.

E' una classica funzione di una variabile, si tratta solamente di farne la derivata e studiarne il segno. Mettiti a fare i conti, non dovrebbe essere difficile da studiare.

P.S.: Il titolo è sbagliato, questa è una funzione di una variabile.


Edit: @pilloeffe mi hai preceduto! Secondo me quella è la soluzione dell'equazione, però boh, vedremo cosa dirà l'OP

[Dex97]

Ciao, mi sono accorto ora dell'errore, infatti nel testo ho scritto che è la soluzione di un'equazione lineare di 1°ordine, scusate.
Comunque anche io volevo fare come hai detto tu, ma con la derivata prima non viene, posso passare facendo la derivata seconda?

[feddy]

Insomma, per studiare la monotonia ti serve la derivata prima. Posta quello che ti risulta.

[Dex97]

Ho fatto la derivata della soluzione dell' equazione differenziale di 1° ordine, mi viene $ y(x)' = [e^x(x^3 - 2x^2 + 4x - 4) + 2e]/x^3 $ e lo pongo $ y(x)' >= 0 $, quindi studio il segno del denominatore $ x^3 > 0 $ che è verificata per ogni $ x > 0 $, nel caso del numeratore invece ho $ e^x >= 0 $ che è verificata per ogni $ x $ appartenente ai reali. Sono entrato in difficolta con $ (x^3 -2x^2 + 4x -4) >= 0 $

[pilloeffe]

"Dex97":mi sono imbattuto nel dover studiare il segno della soluzione di un'equazione differenziale di 1° ordine per studiarne la monotonia.

Questo non è corretto, sono due cose diverse...
Se vuoi studiare il segno della soluzione

$ y(x) = [e^x(x^2-2x+2)-e]/x^2 $

cioè vedere quando $y >= 0 $, dato che evidentemente il denominatore è sempre positivo risulterà $y >= 0 $ se $ e^x(x^2-2x+2) >= e $. Una veloce soluzione grafica mostra che ciò accade per $x >= 1 $
Diverso è se invece vuoi studiare la monotonia della soluzione citata; in tal caso ti serve studiare il segno della derivata prima che effettivamente è la seguente:

$ y'(x) = [e^x(x^3 - 2x^2 + 4x - 4) + 2e]/x^3 $

Dato che il numeratore è sempre positivo, si ha $y' > 0 $ se $ x > 0 $

[Dex97]

il mio problema è che non riesco a dimostrare che il numeratore sia sempre positivo, come posso fare?

[@melia]

Potresti vedere l'andamento di $ y(x) = e^x(x^3 - 2x^2 + 4x - 4)$ che, se risulta sempre maggiore di $-2e$, ti permette di dire che il numeratore è sempre positivo. Basta la derivata prima e il calcolo dell'ordinata del minimo.

[gugo82]

Qual è la EDO dalla quale proviene quella roba lì?
Se c’è nel compito può tornare utile...

[Dex97]

"gugo82":Qual è la EDO dalla quale proviene quella roba lì?
Se c’è nel compito può tornare utile...

il problema differenziale è:
$ y(x)'=(-2/x)y(x)+e^x $
$ y(1)=0 $

l'esercizio mi chiedeva di tracciarne il grafico della soluzione studiandone monotonia e i limiti agli estremi del dominio

[pilloeffe]

Beh, l'intervallo massimale dove è definita la soluzione è $(0, +\infty) $, dato che la condizione iniziale $y(1) = 0 $ è contenuta in tale intervallo. Poi si ha:

$\lim_{x to 0} y(x) = -\infty $

$\lim_{x to +\infty} y(x) = +\infty $

Dunque la funzione interseca l'asse $x $ in (almeno) un punto che è proprio quello della condizione iniziale $x = 1 $. Dato poi che per $x > 1 $ la funzione $y(x) $ è positiva, mentre per $0 < x < 1 $ è negativa, allora $A(1, 0) $ è l'unico punto di intersezione della funzione con l'asse $x$.