Studiare il carattere di una serie
Studiare il carattere delle seguenti serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty}
(n^2 + 1)^{1/2} - (n^3 + 1)^ {1/3}$
$\sum_{n=1}^{+\infty} =
(\frac{n^2+1}{n^2+n+1})^{n^2} $
Tentativo di svolgimento.
Le due serie sono entrambe a termini non negativi, e hanno $\lim an = 0$ , quindi soddisfano la condizione necessaria per la convergenza.
1 Serie.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 + 1)^{1/2}$ - $\sum_{n=1}^{+\infty} (n^3 + 1)^ {1/3}$
Provando il criterio del confronto asintotico
$(n^2 + 1)^{1/2}$ Asintotico per $n\to +\infty$ $(n^2)^{1/2} = |n| $
$(n^3 + 1)^{1/3}$ Asintotico per $n\to +\infty$ $(n^3)^{1/3} = n $
Dovrei fare il $\lim \frac{an}{bn}=l$ che non sono in grado di risolvere.
2 Serie. Ho usato diversi criteri che sono falliti e sto attualmente provando a risolverlo.
Vi chiedo una mano, grazie
$\sum_{n=1}^{+\infty}
(n^2 + 1)^{1/2} - (n^3 + 1)^ {1/3}$
$\sum_{n=1}^{+\infty} =
(\frac{n^2+1}{n^2+n+1})^{n^2} $
Tentativo di svolgimento.
Le due serie sono entrambe a termini non negativi, e hanno $\lim an = 0$ , quindi soddisfano la condizione necessaria per la convergenza.
1 Serie.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 + 1)^{1/2}$ - $\sum_{n=1}^{+\infty} (n^3 + 1)^ {1/3}$
Provando il criterio del confronto asintotico
$(n^2 + 1)^{1/2}$ Asintotico per $n\to +\infty$ $(n^2)^{1/2} = |n| $
$(n^3 + 1)^{1/3}$ Asintotico per $n\to +\infty$ $(n^3)^{1/3} = n $
Dovrei fare il $\lim \frac{an}{bn}=l$ che non sono in grado di risolvere.
2 Serie. Ho usato diversi criteri che sono falliti e sto attualmente provando a risolverlo.
Vi chiedo una mano, grazie
Risposte
Approssimazione di Taylor per il primo, e per il secondo ragionerei come per il primo: in entrambi i casi tenta di sfruttare il teorema dell’ordine di infinitesimo.
Io per la seconda serie userei il criterio della radice.
Non sono sicuro di questi passaggi
$(1+x)^{\frac{1}{2}}= 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5-\frac{21}{1024}x^6+o(x^6)$...
$(1+x)^{\frac{1}{3}}= 1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5}{81}x^3-\frac{10}{243}x^4-\frac{22}{729}x^5-\frac{154}{6561}x^6+
o(x^6)$...
$x=n^2$
$(1+x)^{\frac{1}{2}}= 1+\frac{x}{2} = 1+n^2/2 + o(x) $
$x=n^3$
$(1+x)^{\frac{1}{3}}= 1+\frac{x}{3} = 1+\frac{x}{2} = 1+n^3/3 + o(x) $
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1+n^2/2 -(1+n^3/3 ) + o(x) $
$lim_{n\to+\infty} \ n^p an = lim n^{-3}((3n^2 - 2n^3)/6) = (3n^2 -2n^3)/(6n^3) = -1/3$
$p<=1$ $ =>$ La serie di partenza diverge positivamente
Chiedo conferma di questi passaggi, sono nel pallone totale
$(1+x)^{\frac{1}{2}}= 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5}{128}x^4+\frac{7}{256}x^5-\frac{21}{1024}x^6+o(x^6)$...
$(1+x)^{\frac{1}{3}}= 1+\frac{x}{3}-\frac{x^2}{9}+\frac{5}{81}x^3-\frac{10}{243}x^4-\frac{22}{729}x^5-\frac{154}{6561}x^6+
o(x^6)$...
$x=n^2$
$(1+x)^{\frac{1}{2}}= 1+\frac{x}{2} = 1+n^2/2 + o(x) $
$x=n^3$
$(1+x)^{\frac{1}{3}}= 1+\frac{x}{3} = 1+\frac{x}{2} = 1+n^3/3 + o(x) $
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1+n^2/2 -(1+n^3/3 ) + o(x) $
$lim_{n\to+\infty} \ n^p an = lim n^{-3}((3n^2 - 2n^3)/6) = (3n^2 -2n^3)/(6n^3) = -1/3$
$p<=1$ $ =>$ La serie di partenza diverge positivamente
Chiedo conferma di questi passaggi, sono nel pallone totale
Nello sviluppo la $x$ deve tendere a $0$, non puoi sostituirci $n$. [Suggerimento: $1/n$ invece ce lo puoi sostituire.]
Ciao DAVIDE9792,
Occhio perché questo ragionamento in generale non è corretto e potrebbe portarti a conclusioni errate. Te ne dovresti accorgere perché mentre per la serie iniziale proposta $ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 + 1)^{1/2} - (n^3 + 1)^{1/3} $ in effetti si ha $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, questo non è più vero per ognuna delle serie delle quali hai fatto la differenza: è come se avessi una forma indeterminata del tipo $\+infty - \infty $, che potrebbe risultare un numero finito (anche se nel caso in esame non è così e la serie proposta è divergente).
Concordo con otta96. Applicandolo si vede quasi subito che $\lim_{n \to +infty} root[n]{a_n} = 1/e < 1 $, pertanto la serie proposta è convergente.
"DAVIDE9792":
1 Serie.
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 + 1)^{1/2} - \sum_{n=1}^{+\infty} (n^3 + 1)^{1/3}$
Occhio perché questo ragionamento in generale non è corretto e potrebbe portarti a conclusioni errate. Te ne dovresti accorgere perché mentre per la serie iniziale proposta $ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 + 1)^{1/2} - (n^3 + 1)^{1/3} $ in effetti si ha $lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $, questo non è più vero per ognuna delle serie delle quali hai fatto la differenza: è come se avessi una forma indeterminata del tipo $\+infty - \infty $, che potrebbe risultare un numero finito (anche se nel caso in esame non è così e la serie proposta è divergente).
"otta96":
Io per la seconda serie userei il criterio della radice.
Concordo con otta96. Applicandolo si vede quasi subito che $\lim_{n \to +infty} root[n]{a_n} = 1/e < 1 $, pertanto la serie proposta è convergente.
Inizio col ringraziarvi per questi preziosi consigli, per quanto riguarda la 2 serie sono riuscito quasi subito a risolvere con il criterio della radice e come ha detto pilloeffe viene $1/e < 1$ quindi converge.
Per la 1 serie ancora non ho ben capito come fare
Pongo $x= 1/n^2$ e trovo $1+1/(2n^2)+o(1/n^2)$
Pongo $x= 1/n^3$ e trovo $1+1/(3n^3)+o(1/n^3)$
Riscrivo la serie come $\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt[n^2] \sqrt{1 + 1/n^2} - \sqrt[n^3] (1+1/n^3)^{1/3}$ = $\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt[n^2] + \sqrt[n^2]/(2n^2) + o(1/n^2) - \sqrt[n^3] - \sqrt[n^3]/(3n^3) + o(1/n^3)$
Chiedo se questi passaggi sono corretti e come posso fare per risolvere la serie
Per la 1 serie ancora non ho ben capito come fare
Pongo $x= 1/n^2$ e trovo $1+1/(2n^2)+o(1/n^2)$
Pongo $x= 1/n^3$ e trovo $1+1/(3n^3)+o(1/n^3)$
Riscrivo la serie come $\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt[n^2] \sqrt{1 + 1/n^2} - \sqrt[n^3] (1+1/n^3)^{1/3}$ = $\sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt[n^2] + \sqrt[n^2]/(2n^2) + o(1/n^2) - \sqrt[n^3] - \sqrt[n^3]/(3n^3) + o(1/n^3)$
Chiedo se questi passaggi sono corretti e come posso fare per risolvere la serie
"DAVIDE9792":
Per la 1 serie ancora non ho ben capito come fare
Beh, la puoi riscrivere così:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 + 1)^{1/2} - (n^3 + 1)^{1/3} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(1 + 1/n^2)^{1/2} - (1 + 1/n^3 )^{1/3}}{1/n} $
A questo punto applichi gli sviluppi che conosci tenendo conto del suggerimento che ti ha già dato otta96:
"otta96":
Nello sviluppo la $x$ deve tendere a $0$, non puoi sostituirci $n$. [Suggerimento: $1/n $ invece ce lo puoi sostituire.]
"pilloeffe":
[quote="DAVIDE9792"]Per la 1 serie ancora non ho ben capito come fare
Beh, la puoi riscrivere così:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^2 + 1)^{1/2} - (n^3 + 1)^{1/3} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(1 + 1/n^2)^{1/2} - (1 + 1/n^3 )^{1/3}}{1/n} $
A questo punto applichi gli sviluppi che conosci tenendo conto del suggerimento che ti ha già dato otta96:
"otta96":[/quote]
Nello sviluppo la $x$ deve tendere a $0$, non puoi sostituirci $n$. [Suggerimento: $1/n $ invece ce lo puoi sostituire.]
Purtroppo ho dei dubbi sul o-piccolo
Sostituendo rispettivamente $1/n^2$ e $1/n^3$ mi trovo
$1+1/(2n^2) + o(1/n^2) -1 - 1/(3n^3) + o(1/n^3)$ = $1/(2n^2) + o(1/n^2)$ correggetemi se sto sbagliando clamorosamente
Riscrivo la serie come: $\sum_{n=1}^{+\infty} n/(2n^2) = 1/2 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n$ Che sarebbe la serie armonica e quindi la serie di partenza diverge
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