Studiare il carattere della serie

[caron901]

Ciao ragazzi!oggi ho trovato in giro questo esercizio ma non ho idea di come si risolvi..potete aiutarmi?grazie!
$ sum_(n = 1)^(+ infty)int_(n)^(n+a) 1 / (x^3+x) $

[Quinzio]

In attesa che passi qualcuno bravo davvero io provo a proporre una soluzione
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{n}^{n+a}\frac{1}{x+x^3}dx = \sum_{n=1}^{+\infty}\int_{n}^{n+a}\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{1+x^2}\right)dx[/tex]

Studiando solo il primo addendo
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{n}^{n+a}\frac{1}{x}dx[/tex]
si può dire questo:
[tex]\int_{n}^{n+a}\frac{1}{x}dx \ge \frac{a}{n+a}[/tex]

cioè facendo base x altezza di un rettangolino (alla Riemann)

quindi
[tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{n}^{n+a}\frac{1}{x}dx \ge \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n+a}[/tex]

quindi diverge.

[regim]

Nella prima riga c'e' un errore, comunque forse mi sbaglio ma a occhio invece mi sembra che quella serie abbia il carattere di una armonica generalizzata con $alfa =2$,fammi sapere. ciao

[gugo82]

Beh, facendo i conti in modo esplicito:
\[
\begin{split}
\int_n^{n+a} \frac{1}{x(x^2+1)}\ \text{d} x &= \ln x -\frac{1}{2}\ \ln (x^2+1)\Bigg|_n^{n+a} \\
&= \ln \frac{n+a}{n} -\frac{1}{2}\ \ln \frac{n^2+1}{(n+a)^2+1}\\
&= \ln \left( 1+ \frac{a}{n}\right) -\frac{1}{2}\ \ln \left( 1 - \frac{2an+a^2}{(n+a)^2+1}\right)\\
&\approx \frac{a}{n} +\frac{1}{2}\ \frac{2an+a^2}{(n+a)^2+1}\\
&= \frac{a}{n} +\frac{a}{n[(1+a/n)^2+1/n^2]} + \frac{a^2}{2n^2 [(1+a/n)^2+1/n^2]}\\
&\approx \frac{2a}{n}
\end{split}
\]
quindi la serie diverge.

[regim]

$1/(x^3 +x) < 1/(x^3)$ .

$int_n^(n+a) 1/(x+x^3) dx < int_n^(n+a) 1/(x^3)dx = 1/(2n^2) -1/[2(n+a)^2]$ per ogni $n$.

Dove sbaglio?