Studiare il carattere della serie...

[andreajf89]

$\sum_{n=2}^(+oo) (sqrt(n)-sqrt(n-2))/sqrt(n^2+3)$

l'es chiede se la serie diverge, converge, è indeterminata... ho provato a moltiplicare il num per il solito $sqrt(n)+sqrt(n-2)$ ma non sono arrivato a nessun risultato, o meglio continuano a comparire radici al denominatore... cosa usare altrimenti? il criterio del rapporto? della radice?

[andreajf89]

nessuna idea?

[dan89-votailprof]

Prova a scriverla come

$sqrt(n/(n^2+3)) - sqrt((n-2)/(n^2+3))

(ovviamente la radice "copre" tutti e due i membri per intero, non solo il numeratore), e prova a confrontarla con $1/n^(1/2)=1/sqrtn$

Quindi moltiplica tutto per $sqrtn$ e se non dico una cavolata, troverai un numero finito, quindi la serie ha lo stesso carattere di $1/n^(1/2)$, cioè la serie diverse poichè $alfa<1$. Credo

[void1]

Essendo $sqrt{1+x} = x/2 + o(x)$ per $x$ in un intorno di $0$, per $n \to +\infty$ si ha $sqrt{1-2n^{-1}} = 1-n^{-1} + o(n^{-1})$. Scrivendo $\gamma(n) = \sqrt{n} - \sqrt{n-2}$ come $\gamma(n) = \sqrt{n}(1-sqrt{1-2n^{-1}})$ si ha $\gamma(n) = \sqrt{n}n^{-1} + o(\sqrt{n}n^{-1})$. Procedendo..

[deserto1]

Diverge???
Proviamo a scrivere l'argomento della serie in questo modo:

$(sqrt(n)-sqrt(n-2))/(sqrt(n^2+3))=$

$=(sqrt(n)-sqrt(n-2))/(sqrt(n^2+3))*(sqrt(n)+sqrt(n-2))/(sqrt(n)+sqrt(n-2))=$

$=2/[(sqrt(n^2+3))(sqrt(n)+sqrt(n-2))]$

Quest'ultimo termine si comporta come $1/(n^(3/2))$.

La serie $sum_{n=2}^{+infty}(1/(n^(3/2)))$ converge e pertanto converge anche la serie proposta.