Studiare il carattere della serie

[endurance1]

salve,

ho la seguente serie:

$\sum_{k=1}^ (+infty) ((sin[(2n+1)(pi/2)](n+1))/(2^n))$

ho svolto nel seguente modo:

$\sim \sum_{k=1}^(+infty) ((2n+1)(pi/2)(n+1))/(2^n)) $ $\sim \sum_{k=1}^(+infty) ((pi/2)n^2)/(2^n) $

applicando il criterio dell aradice mi viene il limite = $pi/2$ quindi diverge

va bene oppure ho sbagliato ad approssimare il sin?

[alvinlee881]

Non è corretto.
$sin(n)$, per $n->oo$, non si approssima con $n$ Basta vedere che $AAn$ $-1 Osservando $sin((2n+1)pi/2)$=$sin(Q)$ puoi però notare che per gli n pari $sin(Q)=1$, in quanto ottieni come argomento del seno i valori $5/2pi$, $9/2pi$, $13/2pi$, .... e in generale una successione $a_n=2kpi+pi/2$, $kinNN$, e $sin(a_n)$ vale sempre $1$.
Analogamente per gli n dispari hai che $sin(Q)=-1$. Infatti ottieni come argomento del seno i valori $3/2 pi$, $7/2pi$, $11/2 pi$, .... $b_n=2kpi+3/2pi$, e $sin(b_n)$ vale sempre $-1$
Di conseguenza puoi riscrivere la tua serie come $sum_{n=1}^(oo)( (-1)^n*(n+1)/2^n)$, e poichè la successione $(n+1)/2^n$ è positiva, decrescente e infinitesima, puoi applicare il criterio di Leibniz e concludere che la serie converge.