Studiare convergenza di semplici serie. Sto impazzendo!
Ciao ragazzi, sto diventando pazzo nel modo di capire perchè due serie simili vengono trattate in modo diverso nella risoluzione della mia prof. Non è un caso sporadico, in generale, quando ci sono serie usa questi due diversi metodi.. vorrei capire se c'è un criterio in tutto ciò.
SERIE 1
$ sum_(n = 1)^(oo)((log n+sqrt(n)) /(e^n + n^2)) * (2z-i)^(2n) $
Posto $ t=(z-i/2)^(2n)$ mi studio la serie ausiliaria $sum_(n = 1)^(oo)(An*t^n)$ ove $An=(log n+sqrt(n)) /(e^n + n^2) * 4^n$
Studio il raggio di convergenza della serie ausiliaria con la regoletta del limite che risulta essere $e/4$ e quindi il raggio della serie di partenza è $sqrt(e)/2$
La professoressa conclude quindi dicendo (ed è qua che si giocano i punti):
Se $ |z-i/2|
(Ed io mi chiedo, converge come? Sarebbe giusto dire assolutamente e quindi semplicemente?)
Ma passiamo adesso alla seconda serie, per capire dove sta la stranezza:
SERIE2:
$ sum_(n = 0)^(oo) (1/(1+i*n^2))*(3z+1)^(2n)$
Anche qui si inizia con le solite posizioni e i soliti passaggi, fino a determinare il raggio di convergenza che è 1/3
A questo punto, che è sempre il punto in cui si giocano i punti, la professoressa dice:
Se $ |z+i/3|<1/3$ la serie di partenza converge assolutamente
Se $ |z+i/3|>1/3$ la serie di partenza non converge
Quindi notate già la differenza rispetto a prima.. Come convergono? Assolutamente e quindi semplicemente o cosa?
E poi continua con:
Se $|z+1/3|=1/3$ la serie dei moduli è:
$ sum_(n = 3)^(oo) (1/(sqrt(1+n^4)))$
che converge come la serie armonica generalizzata $1/n^2$ per il criterio del confronto o del confronto asintotico.
Bene, che significa tutto ciò?
1) Perchè qui ha voluto controllare cosa fa nei punti del cerchio di convergenza mentre lì no?
2) E farlo, a che conclusioni ha portato? Non l'ho capito..
Ci sono vari compiti, in cui sempre serie di potenze, vengono risolte in questi diversi metodi, OVVERO CONTROLLANDO I PUNTI DELLA CIRCONFERENZA DEL RAGGIO DI CONVERGENZA.
Se qualcuno riuscisse ad aiutarmi gliene sarei infinitamente grato!!
SERIE 1
$ sum_(n = 1)^(oo)((log n+sqrt(n)) /(e^n + n^2)) * (2z-i)^(2n) $
Posto $ t=(z-i/2)^(2n)$ mi studio la serie ausiliaria $sum_(n = 1)^(oo)(An*t^n)$ ove $An=(log n+sqrt(n)) /(e^n + n^2) * 4^n$
Studio il raggio di convergenza della serie ausiliaria con la regoletta del limite che risulta essere $e/4$ e quindi il raggio della serie di partenza è $sqrt(e)/2$
La professoressa conclude quindi dicendo (ed è qua che si giocano i punti):
Se $ |z-i/2|
(Ed io mi chiedo, converge come? Sarebbe giusto dire assolutamente e quindi semplicemente?)
Ma passiamo adesso alla seconda serie, per capire dove sta la stranezza:
SERIE2:
$ sum_(n = 0)^(oo) (1/(1+i*n^2))*(3z+1)^(2n)$
Anche qui si inizia con le solite posizioni e i soliti passaggi, fino a determinare il raggio di convergenza che è 1/3
A questo punto, che è sempre il punto in cui si giocano i punti, la professoressa dice:
Se $ |z+i/3|<1/3$ la serie di partenza converge assolutamente
Se $ |z+i/3|>1/3$ la serie di partenza non converge
Quindi notate già la differenza rispetto a prima.. Come convergono? Assolutamente e quindi semplicemente o cosa?
E poi continua con:
Se $|z+1/3|=1/3$ la serie dei moduli è:
$ sum_(n = 3)^(oo) (1/(sqrt(1+n^4)))$
che converge come la serie armonica generalizzata $1/n^2$ per il criterio del confronto o del confronto asintotico.
Bene, che significa tutto ciò?
1) Perchè qui ha voluto controllare cosa fa nei punti del cerchio di convergenza mentre lì no?
2) E farlo, a che conclusioni ha portato? Non l'ho capito..
Ci sono vari compiti, in cui sempre serie di potenze, vengono risolte in questi diversi metodi, OVVERO CONTROLLANDO I PUNTI DELLA CIRCONFERENZA DEL RAGGIO DI CONVERGENZA.
Se qualcuno riuscisse ad aiutarmi gliene sarei infinitamente grato!!
Risposte
Ecco ne ho trovata un'altra:
$ sum_(n = 1)^(oo)(log(n)+1)/(n+2i)*(2z)^-2 $ che converge per $|z|>1/2$,dice lei, assolutamente e quindi semplicemente.
Poi però dice, se $|z|=1/2$ la serie dei moduli è $ sum_(n = 1)^(oo)(log(n)+1)/(n+2i) $ che diverge come la serie armonica $ sum_(n = 1)^(oo)(1/n) $
E quindi?!?!?
$ sum_(n = 1)^(oo)(log(n)+1)/(n+2i)*(2z)^-2 $ che converge per $|z|>1/2$,dice lei, assolutamente e quindi semplicemente.
Poi però dice, se $|z|=1/2$ la serie dei moduli è $ sum_(n = 1)^(oo)(log(n)+1)/(n+2i) $ che diverge come la serie armonica $ sum_(n = 1)^(oo)(1/n) $
E quindi?!?!?
i criteri di convergenza ti dicono che:
data una serie $ sum u_n $ se la serie costituita da tutti termini $u_n$ positivi $ sum |u_n | $ e' convergente lo e' anche quella di partenza cioe' in termini
$ sum u_n $ e' assolutamente convergente.cioe' data $ sum (-1)^n/k^2 $ se $ sum |(-1)^n/k^2|$ converge e lo e',allora la prima e' assolutamente convergente.
Applicando i vari criteri di convergenza,rapporto ,radice le serie sono assolutamente convergenti.
Quando hai serie di potenze in $C$ $ sumu_n(z-z_0)^n $ la serie converge a $z_0$.se in generale converge puoi trovare anche un cerchio di convergenza di raggio $R$ dove
$R= 1/(lim_(n ->\infty ) root( n) (|u_n | ))$.Se $R=0$ la serie converge in $z=z_0$.Se $R->\infty$ converge $AA z in C$. Se $R=1/l$ allora converge allora in $ |z-z_0|
$sum |un(z-z_0)^n|$ essa converge assolutamente.Come detto anche sopra si studia la convergenza assoluta delle serie per provare la sua convergenza.Per i valori limiti
$ | z-z_0| =R$ poiche' nulla puoi dire sulla convergenza ma sostituisci i valori di $z$ nella serie vedi se e' semplicemente convergente
Semplicemente convergente vuol dire comunque convergente e se e' convergente assolutamente vuol dire che e' convergente o semplicemente convergente
data una serie $ sum u_n $ se la serie costituita da tutti termini $u_n$ positivi $ sum |u_n | $ e' convergente lo e' anche quella di partenza cioe' in termini
$ sum u_n $ e' assolutamente convergente.cioe' data $ sum (-1)^n/k^2 $ se $ sum |(-1)^n/k^2|$ converge e lo e',allora la prima e' assolutamente convergente.
Applicando i vari criteri di convergenza,rapporto ,radice le serie sono assolutamente convergenti.
Quando hai serie di potenze in $C$ $ sumu_n(z-z_0)^n $ la serie converge a $z_0$.se in generale converge puoi trovare anche un cerchio di convergenza di raggio $R$ dove
$R= 1/(lim_(n ->\infty ) root( n) (|u_n | ))$.Se $R=0$ la serie converge in $z=z_0$.Se $R->\infty$ converge $AA z in C$. Se $R=1/l$ allora converge allora in $ |z-z_0|
$sum |un(z-z_0)^n|$ essa converge assolutamente.Come detto anche sopra si studia la convergenza assoluta delle serie per provare la sua convergenza.Per i valori limiti
$ | z-z_0| =R$ poiche' nulla puoi dire sulla convergenza ma sostituisci i valori di $z$ nella serie vedi se e' semplicemente convergente
Semplicemente convergente vuol dire comunque convergente e se e' convergente assolutamente vuol dire che e' convergente o semplicemente convergente
Perfetto sei stato chiarissimo, quindi, morale della favola, se trovo il raggio di convergenza con uno dei due criteri scopro che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente e nulla posso dire su cosa fa lungo la circonferenza di convergenza, giusto?
Resta il mistero di perchè ogni tanto vada a controllare cosa fa nella circonferenza mentre altre volte no..
Resta il mistero di perchè ogni tanto vada a controllare cosa fa nella circonferenza mentre altre volte no..
Beh sostituisci i valori limite $ | z-z_0|=R $ vedi se converge la serie riducendola ad una serie nota che converge.Da li' che nasce il termine semplicemente solo per il fatto che non usi il criterio della convergenza assoluta ma ne vedi la convergenza con altri mezzi tipo confronto con serie note.
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