Studiare convergenza della serie

[zannas]

$sum_{n=1}^{oo} [1/n^3-ln(1+1/n^3)]^p$ con $p in RR$
ho provato applicando il criterio della radice prendendo $t=1/x;1/x^3,x,x^3$ ma i limiti che saltano fuori non riesco mai a risolverli, potreste cortesemente illuminarmi la via?
Mille Grazie

[Bob_inch]

Scusa, non sarebbe una serie geometrica?

[Lord K]

Propongo questo:

$sum_(n=1)^(oo) 1/n^(3p)*[1-ln(1+1/n^3)/(1/n^3)]^p$

Il termine generico tende a zero all'interno della quadra, poi applico il criterio del confronto con $p>1/3$ e vedo che:

$sum_(n=1)^(oo) 1/n^(3p)*[1-ln(1+1/n^3)/(1/n^3)]^p
ovviamente convergente.

Per gli altri casi mi sa che ci vuole un poco di più pazienza...

[zannas]

per altri casi intendi: $p=1/3$,$p=0$ e $p<1/3$ giusto?

per p=1/3 la serie dovrebbe divergere in quanto il tutto dovrebbe diventare:
$sum_(n=1)^(oo) 1/n*[1-ln(1+1/n^3)/(1/n^3)]^(1/3) per p=0 ?

[Lord K]

Per $p=0$ diverge visto che:

$sum_(n=1)^(oo) 1 rightarrow oo

[Lord K]

"zannas":per altri casi intendi: $p=1/3$,$p=0$ e $p<1/3$ giusto?

per p=1/3 la serie dovrebbe divergere in quanto il tutto dovrebbe diventare:
$sum_(n=1)^(oo) 1/n*[1-ln(1+1/n^3)/(1/n^3)]^(1/3) per p=0 ?

Nel caso da te citato non puoi concludere che diverge, per farlo dovresti avere una serie minorante che diverge non una maggiornate.

[zannas]

"Lord K":Per $p=0$ diverge visto che:

$sum_(n=1)^(oo) 1 rightarrow oo$

ma... $lim_{n->oo} (1/n^3-ln(1+1/n^3))^0 = 0^0$ che è indeterminato?
PS. porta pazienza se dico stupidaggini, ma sbagliando si impara...

[Lord K]

Tutta la pazienza che vuoi!

Ricordati che $p$ è fissato non varia con $n$ e naturalmente $a^0=1$ quale che sia $a$.

[zannas]

hai ragione...avevo scritto una stupidaggine prima...
comunque, per quanto riguarda lo studio con p<1/3? hai qualche idea, qualche dritta?

[zannas]

up

[zannas]

ho cercato la soluzione del compito e ho trovato la soluzione:
Da $log(1+x)=x-x^2+o(x^2)$ si ottiene:
$1/n^3 - log(1+1/n^3) = 1/(2n^6) + o(1/x^6)$ e si ottiene subito che la serie: ${(text(converge per ) p>1/6),(text(diverge per ) p<=1/6):}$