Studiare carattere della serie
Ciao a tutti,
mi è richiesto studiare il carattere di tale serie:
$ sum_(n =1)^(oo)1/(logn)^logn $
Avevo pensato di confrontarla con la serie armonica $1/n^n$ ma quest'ultima converge e, poichè $1/(logn)^logn > 1/n^n$, tale confronto non mi da informazioni sulla serie che mi interessa.
Avete idee? Grazie.
mi è richiesto studiare il carattere di tale serie:
$ sum_(n =1)^(oo)1/(logn)^logn $
Avevo pensato di confrontarla con la serie armonica $1/n^n$ ma quest'ultima converge e, poichè $1/(logn)^logn > 1/n^n$, tale confronto non mi da informazioni sulla serie che mi interessa.
Avete idee? Grazie.
Risposte
Quali criteri hai studiato?
Il criterio di Cauchy potrebbe fare al caso tuo..
Il criterio di Cauchy potrebbe fare al caso tuo..
"dan95":
Quali criteri hai studiato?
Il criterio di Cauchy potrebbe fare al caso tuo..
L'ho studiato ma non riesco ad applicarlo in questo caso. Potresti darmi qualche dritta?
Date le ipotesi il criterio dice che:
$$|\sum a_n|< \infty \Leftrightarrow |\sum 2^n a_{2^n}|<\infty$$
Ora $a_n=\frac{1}{(\log n)^{\log n}}$ quindi $a_{2^n}=\frac{1}{(n\log 2)^{n\log 2}}=\frac{1}{n^{n\log 2}[(\log 2)^{\log 2}]^n$. Dunque si tratta di verificare che la serie
\begin{CD}
\sum \frac{2^n}{n^{n\log 2}[(\log 2)^{\log 2}]^n}=\sum \left(\frac{2}{(\log 2)^{\log 2}}\right)^n\frac{1}{n^{n\log 2}}
\end{CD}
converge
$$|\sum a_n|< \infty \Leftrightarrow |\sum 2^n a_{2^n}|<\infty$$
Ora $a_n=\frac{1}{(\log n)^{\log n}}$ quindi $a_{2^n}=\frac{1}{(n\log 2)^{n\log 2}}=\frac{1}{n^{n\log 2}[(\log 2)^{\log 2}]^n$. Dunque si tratta di verificare che la serie
\begin{CD}
\sum \frac{2^n}{n^{n\log 2}[(\log 2)^{\log 2}]^n}=\sum \left(\frac{2}{(\log 2)^{\log 2}}\right)^n\frac{1}{n^{n\log 2}}
\end{CD}
converge
"dan95":
Date le ipotesi il criterio dice che:
$$|\sum a_n|< \infty \Leftrightarrow |\sum 2^n a_{2^n}|<\infty$$
Ora $a_n=\frac{1}{(\log n)^{\log n}}$ quindi $a_{2^n}=\frac{1}{(n\log 2)^{n\log 2}}=\frac{1}{n^{n\log 2}[(\log 2)^{\log 2}]^n$. Dunque si tratta di verificare che la serie
\begin{CD}
\sum \frac{2^n}{n^{n\log 2}[(\log 2)^{\log 2}]^n}=\sum \left(\frac{2}{(\log 2)^{\log 2}}\right)^n\frac{1}{n^{n\log 2}}
\end{CD}
converge
Ciao! Ti ringrazio della dritta anche perchè non l'avevo studiato così il criterio di convergenza di Cauchy e quindi ho imparato qualcosa di nuovo e interessante. Come da te suggerito, ho studiato il carattere della serie $\sum(\frac{2}{(\log 2)^{\log 2}})^n\frac{1}{n^{n\log 2}} $ applicando il criterio della radice: il risultato del limite è 0 e concludo che la serie converge. Di conseguenza, dunque, posso automaticamente dedurre che converga anche quella di partenza?
Gentilmente, se possibile, potresti elencarmi le ipotesi per applicare il teorema?
Grazie ancora,
Kemix.
Si chiama criterio di condensazione di Cauchy...come l'ho scritto è ambiguo, mi sono affidato al contesto e al buon senso che non ci si confodesse con il criterio della convergenza di successioni.
Le ipotesi sono che i termini $a_n$ devono essere positivi e decrescenti
Le ipotesi sono che i termini $a_n$ devono essere positivi e decrescenti
"dan95":
Si chiama criterio di condensazione di Cauchy...come l'ho scritto è ambiguo, mi sono affidato al contesto e al buon senso che non ci si confodesse con il criterio della convergenza di successioni.
Le ipotesi sono che i termini $a_n$ devono essere positivi e decrescenti
Io pensavo ti riferissi al teorema di convergenza di Cauchy nella forma per le serie ovvero:
"La serie converge se e solo se, fissato \( \varepsilon \) , esiste un indice \( \nu \) tale che $|a_(n+1)+..+a_(n+k)|< $ \( \varepsilon \) per ogni $n>$ \( \nu \) e per ogni k "
Il criterio di condensazione di Cauchy non lo abbiamo studiato...non ci sono metodi alternativi per risolvere l'esercizio?
"Kemix":
non ci sono metodi alternativi per risolvere l'esercizio?
Beh, potresti provare col confronto...
Faccio sommessamente notare che la serie che hai proposto non può partire da $n = 1$, perché $\log 1 = 0$...
Scusate se mi intrometto, ma mi è sorto un dubbio leggendo il testo dell'esercizio.
Premettendo che la serie parta da $n=2$, altrimenti non è definita, non posso posso considerarla alla stregua di una serie geometrica?
Dico questo perchè $log(n) = x$ è sicuramente positivo e crescente e maggiore di 1 definitivamente. Quindi ho $1/(x >1)^(x >1) < 1$ $AAn$ e quindi mi ritrovo nella situazione $\tilde$ $q^n$ con $q<1$
Premettendo che la serie parta da $n=2$, altrimenti non è definita, non posso posso considerarla alla stregua di una serie geometrica?
Dico questo perchè $log(n) = x$ è sicuramente positivo e crescente e maggiore di 1 definitivamente. Quindi ho $1/(x >1)^(x >1) < 1$ $AAn$ e quindi mi ritrovo nella situazione $\tilde$ $q^n$ con $q<1$
Sennò il problema si poteva risolvere così, si nota che $lnn^lnn=e^(lnnlnlnn)=n^(lnlnn)$, quindi definitivamente $1/lnn^lnn<1/n^a AAa>1$, quindi converge.
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