Studiare, al variare di un parametro, l'immagine di f(x)

[Marcomix1]

Studiare, al variare del parametro $\lambda$$>=0$ l'immagine dell'equazione:
$f(x)=(x+$$\lambda$$)e^-x$, per $x>=0$

Non capisco una cosa, quel $\lambda$ dentro la funzione, la devo portare fuori considerando una funzione inversa? cosicchè diventi $\lambda$$=blablabla$, poi faccio uno studio di funzione del $blablabla$ e trovo tracciando linee orizzontali il valore di $\lambda$ per $x>=0$.
Se si, datemi qualche altra informazione.
Se no, spiegatemi il procedimento, perchè non so come partire..

[enpires1]

Se non ho commesso errori l'esercizio dovrebbe risolversi in questo modo.

Se il dominio della funzione è tutto $RR$ (quindi il testo non ti da limitazioni su questo), con i limiti vedi immediatamente che
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}(x+\lambda)e^{-x}=+\infty}[/tex]
e
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}(x+\lambda)e^{-x}=0}[/tex]
Ti basta quindi dimostrare che la funzione è continua per dire che l'immagine sarà un insieme del tipo $I=[min,+infty)$.
il valore di $min$ è il minimo della funzione che puoi agevolmente calcolare con la derivata (attenzione ad eventuali massimi relativi).
E' inoltre necessario effettuare un ulteriore precisazione sull'insieme $I$ immagine nel caso in cui $min$ non esiste, oppure è minore di zero

[misanino]

"enpires":Se non ho commesso errori l'esercizio dovrebbe risolversi in questo modo.

Se il dominio della funzione è tutto $RR$ (quindi il testo non ti da limitazioni su questo), con i limiti vedi immediatamente che
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}(x+\lambda)e^{-x}=+\infty}[/tex]
e
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}(x+\lambda)e^{-x}=0}[/tex]
Ti basta quindi dimostrare che la funzione è continua per dire che l'immagine sarà un insieme del tipo $I=[min,+infty)$.
il valore di $min$ è il minimo della funzione che puoi agevolmente calcolare con la derivata (attenzione ad eventuali massimi relativi).
E' inoltre necessario effettuare un ulteriore precisazione sull'insieme $I$ immagine nel caso in cui $min$ non esiste, oppure è minore di zero

Attenzione che
[tex]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}(x+\lambda)e^{-x}=-\infty}[/tex]

[enpires1]

Giustissimo, errore mio che non avevo considerato la x all'inizio... allora tutto il discorso si ribalta, l'immagine è del tipo $I=[-\infty, max)$, e tutto ciò che ho detto va al contrario.

[Marcomix1]

ma posso fare l'inversa considerando $\lambda$ come $y$? Sarò duro, ma i procedimenti sopra indicati non li ho capiti.. qualcuno ha voja di renderlo più chiaro?

[misanino]

"Marcomix":ma posso fare l'inversa considerando $\lambda$ come $y$? Sarò duro, ma i procedimenti sopra indicati non li ho capiti.. qualcuno ha voja di renderlo più chiaro?

Non è possibile trovare la funzione inversa in questo caso.
Quindi devi agire in altro modo.
Ora la tua funzione è continua.
Quindi se assume dei valori, assume anche tutti i valori fra essi compresi.
Ora abbiamo calcolato i limiti agli infiniti.
Un limite è $-\infty$ e l'altro è 0.
Perciò sicuramente l'immagine contiene l'insieme $(-\infty,0)$.
Ora se la funzione ha un massimo più grande di 0, allora assume anche tutti i valori fino a quel massimo.
Devi quindi calcolare la derivata prima, porla maggiore o uguale a 0 e trovare se ha un massimo e se tale massimo è maggiore di 0.
In tal caso, detto M il massimo, si avrà che l'immagine è $(-\infty,M]$.
Se invece non esiste massimo oppure il massimo è minore di 0, allora l'immagine è $(-\infty,0)$