Studiare al variare del parametro a il comportamento della serie

[Di Cesare1]

Dovrei studiare al variare del parametro a $ ain R $ il comportamento della seguente serie (quando converge o diverge)
$ sum_(n=2\ldots) n^a(log((2n^2+2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $ .
La serie è a termini positivi perciò o cercato di risolvere attreverso il metodo del confronto asintotico riconducendola
ad una serie armonica.
$ n^a(log((2n^2+2n+1)/(2n^2))-arctan(1/n)) $ $ ~ $ $ n^a(-1/n) $ dato che l'argomento del logaritmo asintoticamente tende a 1 annulando il logaritmo stesso ed $arctan(1/n)$ è approssimato ad $(1/n)$ usando Maclaurin.
Adesso $ sum_(n =2 \ldots)n^a(-1/n) = -sum_(n =2 \ldots)(1/n^(-a+1)) $
Quindi la serie converge per $-a+1>1$ quindi $a<0$ e diverge per $a>=0$.
Tutto molto bello ma il risultato è che converge per $a<2$ e diverge per $ a>= 2 $.
Quindi per favore qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolve e soprattutto dove ho sbagliato.

[Noisemaker]

L'approssiamzione asintotica del logaritmo non è corretta, infatti:
\begin{align}
\ln\left(\frac{2n^2+2n+1}{2n^2}\right) = \ln\left(1+\frac{1 }{n}+\frac{ 1}{2n^2}\right)\sim \frac{1 }{n}+\frac{ 1}{2n^2};
\end{align}
quindi il termine generale della serie lo puoi approssiamore con :
\begin{align}
n^a\left[ \ln\left(\frac{2n^2+2n+1}{2n^2}\right)-\arctan\frac{1}{n}\right] \sim n^a \left(\frac{1 }{n}+\frac{ 1}{2n^2}-\frac{1}{n}\right)=\frac{ 1}{2n^{2-a}},
\end{align}
e concludere.