Studi qualitativi EDO: prolungabilità
Ciao a tutti,
sono nuova del sito, spero mi possiate aiutare e spero che a mia volta potrò essere utile a qualcuno...
Mi sto preparando all'esame di Analisi II. Devo studiare molti argomenti e purtroppo il professore ha affrontato in modo superficiale diversi argomenti. Ho dei dubbi sullo studio della prolungabilità delle soluzioni di una EDO. Cioè: dalla teoria so che assegnata una certa y' = f (t, y) la soluzione è prolungabile se la derivata parziale di f rispetto a y è LIMITATA. Tuttavia ho dei problemi a dimostrare questa cosa.
Ad esempio:
\(\displaystyle y'=\frac{x^2y^3}{1+y^2}\)
io ragionerei così (anche se probabilmente è una castroneria): dato che per \(\displaystyle x\rightarrow \infty y'\rightarrow\infty \)si ha una situazione in cui la derivata tende ad infinito, morale: no prolungabilità. Tuttavia mi sembra strano per 2 motivi:
- non conoscendo la forma di y esplicita, è ridicolo fare questa considerazione
- non significa nulla nel senso che devo dimostrare che per valori finiti di x la derivata tende ad infinito per avere situazione catastrofica (leggi: asintoto verticale).
D'altronde perchè una soluzione non è prolungabile? Per motivi di dominio (a priori) o per asintono verticale.
Ringrazio chiunque mi voglia delucidare o eventualmente insultare per la marea di stupidate, grazie!
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Mi sto preparando all'esame di Analisi II. Devo studiare molti argomenti e purtroppo il professore ha affrontato in modo superficiale diversi argomenti. Ho dei dubbi sullo studio della prolungabilità delle soluzioni di una EDO. Cioè: dalla teoria so che assegnata una certa y' = f (t, y) la soluzione è prolungabile se la derivata parziale di f rispetto a y è LIMITATA. Tuttavia ho dei problemi a dimostrare questa cosa.Ad esempio:
\(\displaystyle y'=\frac{x^2y^3}{1+y^2}\)
io ragionerei così (anche se probabilmente è una castroneria): dato che per \(\displaystyle x\rightarrow \infty y'\rightarrow\infty \)si ha una situazione in cui la derivata tende ad infinito, morale: no prolungabilità. Tuttavia mi sembra strano per 2 motivi:
- non conoscendo la forma di y esplicita, è ridicolo fare questa considerazione
- non significa nulla nel senso che devo dimostrare che per valori finiti di x la derivata tende ad infinito per avere situazione catastrofica (leggi: asintoto verticale).
D'altronde perchè una soluzione non è prolungabile? Per motivi di dominio (a priori) o per asintono verticale.
Ringrazio chiunque mi voglia delucidare o eventualmente insultare per la marea di stupidate, grazie!
Risposte
"Cinzem90":
Ciao a tutti,
sono nuova del sito, spero mi possiate aiutare e spero che a mia volta potrò essere utile a qualcuno...
Ad esempio:
\(\displaystyle y'=\frac{x^2y^3}{1+y^2}\)
io ragionerei così (anche se probabilmente è una castroneria): dato che per \(\displaystyle x\rightarrow \infty y'\rightarrow\infty \)si ha una situazione in cui la derivata tende ad infinito, morale: no prolungabilità. Tuttavia mi sembra strano per 2 motivi:
- non conoscendo la forma di y esplicita, è ridicolo fare questa considerazione
Si d'accordo, ma non è ridicola per non conosci $y(x)$. Non ha senso preoccuparsi di cosa fa $y'$ per $x \to +oo$ perchè $y'$ non arriva mai a $+oo$.
$y' = +oo$ per $x\to +oo$ è solo un modo simpatico di dire che $y'$ è grande a piacere, cresce sempre, ecc...
- non significa nulla nel senso che devo dimostrare che per valori finiti di x la derivata tende ad infinito per avere situazione catastrofica (leggi: asintoto verticale).
D'altronde perchè una soluzione non è prolungabile? Per motivi di dominio (a priori) o per asintono verticale.
Ringrazio chiunque mi voglia delucidare o eventualmente insultare per la marea di stupidate, grazie!
Io ho ragionato al contrario: ho provato a cercare l'asintoto verticale, vedendo se converge:
$ int_(a)^(+oo) \frac{1+y^2}{x^2y^3}dy $
Non convergendo, l'asintoto verticale non esiste. Non avendo limitazioni di dominio posso prolungare indefinitamente. A me sembra un ragionamento corretto.
$ int_(a)^(+oo) \frac{1+y^2}{x^2y^3}dy $
Non convergendo, l'asintoto verticale non esiste. Non avendo limitazioni di dominio posso prolungare indefinitamente. A me sembra un ragionamento corretto.
Cos'hai fatto scusa? O.O
La funzione \(\displaystyle f(x,y) = \frac{x^2y^3}{1+y^2} \) soddisfa il teorema di esistenza è unicità essendo \(\displaystyleC^oo \). Studiando il segno di tale f si nota che le soluzioni dell'equazione differenziale (oltre ad essere y=0 soluzione costante) sono crescenti per y>0 e decrescenti per y<0. Mi chiedo ad esempio se per y>0 la soluzione (limitata inferiormente da y=0 abbia un asintoto verticale per \(\displaystyle xrarroo \) per fare questo mi chiedo se per valori di x finiti, l'integrale della soluzione tra, ad esempio x=0 e un x finito converge, con y che và da un y segnato ad infinito. Tale tecnica mi è stata insegnata per la ricerca di un asintoto verticale.
Premetto che non ho mai sentito parlare di questa tecnica. In ogni caso mi pare strano che tu vada a cercare la convergenza dell'integrale (caso mai la divergenza), tra l'altro hai scritto la funzione al contrario nell'integrale improprio.
Riguardo a questo esercizio:
$ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|x^2((y^3_1)/[1+y^2_1]-(y^3_2)/(1+y^2_2))|=|x^2((y_1 y^2_1)/[1+y^2_1]-(y_2 y^2_2)/(1+y^2_2))|<= Max_(x in [a,b])( x^2 )|y_1-y_2|$
$= Max{a^2,b^2} |y_1-y_2| $, siccome questo vale per ogni $[a,b] sube RR$ hai garantita l'esistenza e unicità globale della soluzione, con qualsiasi valore iniziale. Questo implica anche che la soluzione non può avere asintoti verticali.
Riguardo a questo esercizio:
$ |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|x^2((y^3_1)/[1+y^2_1]-(y^3_2)/(1+y^2_2))|=|x^2((y_1 y^2_1)/[1+y^2_1]-(y_2 y^2_2)/(1+y^2_2))|<= Max_(x in [a,b])( x^2 )|y_1-y_2|$
$= Max{a^2,b^2} |y_1-y_2| $, siccome questo vale per ogni $[a,b] sube RR$ hai garantita l'esistenza e unicità globale della soluzione, con qualsiasi valore iniziale. Questo implica anche che la soluzione non può avere asintoti verticali.
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