Studi qualitativi di ODE e di EDP
Buonasera a tutti.
Spesso, risolvere esplicitamente una EDO [anche solo di primo ordine] è complicatissimo se non addirittura impossibile: nel migliore dei casi non si riesce ad esplicitare la soluzione $y(x)$ senza dover necessariamente ricorrere a funzione speciali mentre quando si è più sfortunati non esistono nemmeno tecniche per risolvere quel particolare caso. Salendo con l'ordine dell'equazione le difficoltà aumentano esponenzialmente. In siffatte occasioni però subentra lo studio qualitativo. Magari non si sa risolvere l'EDO o il PdC però si sa capire ugualmente "come è fatta la soluzione" e talvolta, nel migliore dei casi si riesce a scoprire vita, morte e miracoli dell'EDO arrivando addirittura a "disegnare a mano" [e anche abbastanza bene] la soluzione.
Mi sono dunque chiesto due domande.
1) Si può fare la stessa cosa anche per EDO di ordine superiore al primo?
2) Si può fare la stessa cosa anche per le EDP (Equazioni Differenziali alle derivate Parziali)? Visto che risolvere analiticamente una EDP è decisamente più complicato che risolvere un'EDO, si sa almeno come fare per ottenere un buono studio qualitativo?
Spesso, risolvere esplicitamente una EDO [anche solo di primo ordine] è complicatissimo se non addirittura impossibile: nel migliore dei casi non si riesce ad esplicitare la soluzione $y(x)$ senza dover necessariamente ricorrere a funzione speciali mentre quando si è più sfortunati non esistono nemmeno tecniche per risolvere quel particolare caso. Salendo con l'ordine dell'equazione le difficoltà aumentano esponenzialmente. In siffatte occasioni però subentra lo studio qualitativo. Magari non si sa risolvere l'EDO o il PdC però si sa capire ugualmente "come è fatta la soluzione" e talvolta, nel migliore dei casi si riesce a scoprire vita, morte e miracoli dell'EDO arrivando addirittura a "disegnare a mano" [e anche abbastanza bene] la soluzione.
Mi sono dunque chiesto due domande.
1) Si può fare la stessa cosa anche per EDO di ordine superiore al primo?
2) Si può fare la stessa cosa anche per le EDP (Equazioni Differenziali alle derivate Parziali)? Visto che risolvere analiticamente una EDP è decisamente più complicato che risolvere un'EDO, si sa almeno come fare per ottenere un buono studio qualitativo?
Risposte
"magliocurioso":
1) Si può fare la stessa cosa anche per EDO di ordine superiore al primo?
Più o meno sì, ma la cosa è più complicata... Un esempio di proprietà qualitativa che si può trarre da equazioni del secondo ordine è, ad esempio, il teorema di oscillazione per le soluzioni di problemi di Sturm-Liouville.
Ad esempio, usando quel teorema puoi dire, senza risolvere esplicitamente l'equazione, che ogni soluzione massimale non banale di \(y^{\prime \prime} (x)+y(x)=0\) oscilla indefinitamente in \(]0,\infty[\).
A posteriori, ciò è ovvio, perchè ogni soluzione non banale della precedente è del tipo \(C_1\cos x+C_2\sin x\); ma il fatto che ciò sia deducibile dalla sola EDO è una cosa notevolissima.
Altri teoremi del genere riguardano i cosiddetti principi di massimo/minimo (cose del tipo: "se la soluzione di una EDO prende massimo/minimo assoluto all'interno del proprio intervallo aperto di definizione, allora essa è costante"), o disuguaglianze di tipo Harnack (e.g.: "se \(y\geq 0\) risolve in \(I\) un certo tipo di EDO in un intervallo \(I\), allora i valori estremi di \(y\) su ogni compatto contenuto in \(I\) sono sempre confrontabili; cioè per ogni \([a,b]\subseteq I\) esiste \(C\geq 0\) tale che \(\max_{[a,b]} y\leq C\ \min_{[a,b]} y\)"), oppure la distribuzione asintotica degli zeri delle soluzioni massimali (tipo: "la distanza tra due degli infiniti zeri consecutivi di una stessa soluzione massimale di una certa EDO è asintoticamente equivalente ad una costante"), etc... Insomma, si può fare molto, anche non risolvendo esplicitamente una EDO.
"magliocurioso":
2) Si può fare la stessa cosa anche per le EDP (Equazioni Differenziali alle derivate Parziali)? Visto che risolvere analiticamente una EDP è decisamente più complicato che risolvere un'EDO, si sa almeno come fare per ottenere un buono studio qualitativo?
Sì, si può fare; ma in generale è molto più complicato.
Ad esempio, vedi qui.
Ma, in generale, i vari principi di massimo/minimo, disuguaglianze di Harnack, proprietà di simmetria, etc... si ritrovano anche per le PDE: ad esempio, puoi vedere Evans, Partial Differential Equations, cap. 2, 6, 7, 9.
P.S.: Questa è l'Analisi "seria" cui mi riferivo altrove.
Come sempre, grazie per le tue preziosissime risposte 
Che tu sappia, esiste in giro qualche dispensa che sia più approfondita di questa ? Sì, è una delle migliori [se non la migliore] fra le dispense sulle EDO perché contiene un buon capitolo sugli studi qualitativi ma non riporta i teoremi da te sopra citati.
Poi altra cosa. Vorrei iniziare a dedicarmi alle EDP in maniera abbastanza seria e vorrei pertanto alcuni consigli da uno molto più esperto di me. È fondamentale sapere qualsiasi cosa delle EDO prima di passare alle EDP oppure anche con "un'infarinatura"" si può iniziare ad cogliere qualche "nozione elementare" ?
Che tu sappia, esiste in giro qualche dispensa che sia più approfondita di questa ? Sì, è una delle migliori [se non la migliore] fra le dispense sulle EDO perché contiene un buon capitolo sugli studi qualitativi ma non riporta i teoremi da te sopra citati.
Poi altra cosa. Vorrei iniziare a dedicarmi alle EDP in maniera abbastanza seria e vorrei pertanto alcuni consigli da uno molto più esperto di me. È fondamentale sapere qualsiasi cosa delle EDO prima di passare alle EDP oppure anche con "un'infarinatura"" si può iniziare ad cogliere qualche "nozione elementare" ?
"gugo82":Questo esempio è invece relativo ad una EDP del secondo ordine. Ho notato che non si trova praticamente nulla in rete su EDP del primo ordine. Sono io che non sono bravo a googlare? Nella mia ignoranza sull'argomento penso che prima di dedicarsi a EDP di secondo ordine sia più logico "imparare a far di conto" con quelle di primo.
Ad esempio, vedi qui.
"magliocurioso":
Come sempre, grazie per le tue preziosissime risposte
Che tu sappia, esiste in giro qualche dispensa che sia più approfondita di questa ? Sì, è una delle migliori [se non la migliore] fra le dispense sulle EDO perché contiene un buon capitolo sugli studi qualitativi ma non riporta i teoremi da te sopra citati.
Se vuoi un completo, seppur vecchiotto, resoconto della teoria classica, puoi vedere Sansone, Equazioni Differenziali Ordinarie nel Campo Reale (1963).
"magliocurioso":
Poi altra cosa. Vorrei iniziare a dedicarmi alle EDP in maniera abbastanza seria e vorrei pertanto alcuni consigli da uno molto più esperto di me. È fondamentale sapere qualsiasi cosa delle EDO prima di passare alle EDP oppure anche con "un'infarinatura"" si può iniziare ad cogliere qualche "nozione elementare" ?
Non è tutto indispensabile.
Però almeno vedere la formulazione debole cominciando già dalle EDO è utile, perchè cominci a fare l'occhio ai metodi moderni per l'esistenza di soluzioni: per questo, puoi vedere Brezis, Functional Analysis, Sobolev Speces and PDEs, cap. 8.
Per quanto riguarda le proprietà qualitative, non sempre la teoria della EDO serve a qualcosa... Quindi leggiti qualcosa, ma non ecedere.
"magliocurioso":Questo esempio è invece relativo ad una EDP del secondo ordine. Ho notato che non si trova praticamente nulla in rete su EDP del primo ordine. Sono io che non sono bravo a googlare? Nella mia ignoranza sull'argomento penso che prima di dedicarsi a EDP di secondo ordine sia più logico "imparare a far di conto" con quelle di primo.[/quote]
[quote="gugo82"] Ad esempio, vedi qui.
Probabilmente è che la teoria delle PDE del primo ordine non è molto interessante; quelle del secondo ordine hanno una maggiore importanza, perchè nascono tutte da problemi di tipo fisico/ingegneristico.
Però non so, davvero.
"gugo82":
Probabilmente è che la teoria delle PDE del primo ordine non è molto interessante
Però se non sbaglio, molti formalismi della fisica-matematica fanno uso di EDP del primo ordine [eq di Maxwell, Navier-Stokes, Eulero-Lagrange, Hamilton ecc ecc]. Mi sembra strano che nessuno abbia ritenuto interessante sviluppare meglio l'argomento.
"magliocurioso":
[quote="gugo82"]Probabilmente è che la teoria delle PDE del primo ordine non è molto interessante
Però se non sbaglio, molti formalismi della fisica-matematica fanno uso di EDP del primo ordine [eq di Maxwell, Navier-Stokes, Eulero-Lagrange, Hamilton ecc ecc]. Mi sembra strano che nessuno abbia ritenuto interessante sviluppare meglio l'argomento.[/quote]
Ovviamente, la mia era un'iperbole...
[Effettivamente, ci voleva la faccina: me ne accorgo solo adesso.]
Però, occhio: le equazioni di Eulero-Lagrange del CdV sono del secondo ordine.
L'equazione di Hamilton è l'unica "pura" del primo ordine tra quelle che citi.
Quelle di Navier-Stokes sono del primo ordine nel caso generale, ossia per fluidi qualsiasi; se il fluido è incomprimibile, pure quella diventa del secondo ordine (se non ricordo male).
Lo stesso vale per le equazioni di Maxwell, che sono trattate come equazioni del secondo ordine una volta introdotti i potenziali.
Comunque il testo da te citato
"gugo82":mi fa suppore l'esistenza di EDO ed EDP anche in campo complesso. C'è qualche buona referenza bibliografica al riguardo?
Sansone, Equazioni Differenziali Ordinarie nel Campo Reale (1963).
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