Studi di funzione:$y=\frac{x\sqrt{x^2+1}}{x-1}$
Salve a tutti.
Ho incontrato dei problemi circa lo studio della seguente funzione:
$y=\frac{x\sqrt{x^2+1}}{x-1}$
In particolare, riguardano lo studio della sua derivata prima e seconda:
$y'=\frac{x^3-2x^2-1}{\sqrt{x^2+1}(x^2-2x+1)}$
$y''=\frac{3x^3+3x+2}{(x-1)^{3}(x^2+1)^{3\2}}$
Pensavo di cercare massimi e minimi relativi tramite il consueto metodo dello studio della eventuale monotonia della derivata prima, deducendo l'esistenza di uno zero per essa quando è monotona crescente (decrescente) in tutto un certo intervallo nei cui estemi assuma valori di segno opposto. Per quanto riguarda la derivata seconda, avrei considerato la stessa positiva negli intervalli in cui $f'(x)$ fosse stata crescente e negativa negli intervalli in cui $f'(x)$ fosse stata decrescente, e posto un punto di flesso tra questi intervalli. Tutto ciò non mi è stato però possibile, in quanto non riesco a determinare proprio la monotonia della derivata prima. Come è opportuno procedere in questo caso?
La funzione ammette due asintoti obliqui:
$y=x+1$ (per $x \rightarrow +\infty$ e $y=-x-1$ (per $x \rightarrow +\infty$)
inoltre,
$lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)= -\infty$ e $lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)= +\infty$
Posso dedurre l'esistenza di un minimo in $(1,+\infty)$ e di un flesso discendente in $(-\infty,1)$ solamente da questo?
Con quale giustificazione?
Ho incontrato dei problemi circa lo studio della seguente funzione:
$y=\frac{x\sqrt{x^2+1}}{x-1}$
In particolare, riguardano lo studio della sua derivata prima e seconda:
$y'=\frac{x^3-2x^2-1}{\sqrt{x^2+1}(x^2-2x+1)}$
$y''=\frac{3x^3+3x+2}{(x-1)^{3}(x^2+1)^{3\2}}$
Pensavo di cercare massimi e minimi relativi tramite il consueto metodo dello studio della eventuale monotonia della derivata prima, deducendo l'esistenza di uno zero per essa quando è monotona crescente (decrescente) in tutto un certo intervallo nei cui estemi assuma valori di segno opposto. Per quanto riguarda la derivata seconda, avrei considerato la stessa positiva negli intervalli in cui $f'(x)$ fosse stata crescente e negativa negli intervalli in cui $f'(x)$ fosse stata decrescente, e posto un punto di flesso tra questi intervalli. Tutto ciò non mi è stato però possibile, in quanto non riesco a determinare proprio la monotonia della derivata prima. Come è opportuno procedere in questo caso?
La funzione ammette due asintoti obliqui:
$y=x+1$ (per $x \rightarrow +\infty$ e $y=-x-1$ (per $x \rightarrow +\infty$)
inoltre,
$lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)= -\infty$ e $lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)= +\infty$
Posso dedurre l'esistenza di un minimo in $(1,+\infty)$ e di un flesso discendente in $(-\infty,1)$ solamente da questo?
Con quale giustificazione?
Risposte
poichè per quanto riguarda lo studio della derivata prima è solo il numeratore che ti crea dei problemi, potresti cercare gli zeri (e poi anche studiare il segno ) col metodo grafico
se quindi vuoi risolvere l'equazione $x^3-2x^2-1=0$ la puoi ad esempio rappresentare col sistema:
$\{(y=x^3),(y=2x^2+1):} $
dunque i punti stazionari (che in questo modo comunque puoi solo approssimare) corrispondono ai punti intersezione tra la cubica e la parabola ; non trovi dei valori precisi, ma di sicuro puoi restringere (anche col metodo di bisezione, se lo conosci) moltissimo l'intervallo in cui questi valori cadono
se quindi vuoi risolvere l'equazione $x^3-2x^2-1=0$ la puoi ad esempio rappresentare col sistema:
$\{(y=x^3),(y=2x^2+1):} $
dunque i punti stazionari (che in questo modo comunque puoi solo approssimare) corrispondono ai punti intersezione tra la cubica e la parabola ; non trovi dei valori precisi, ma di sicuro puoi restringere (anche col metodo di bisezione, se lo conosci) moltissimo l'intervallo in cui questi valori cadono
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