Studi di funzione
Ciao ragazzi sono bloccato con due esercizi maledetti. Entrambi riguardano lo studio di funzione.La funzione da studiare nel primo caso è questa $ y=x/sqrt(x^2+1) $ questa mi da dei problemi con il calcolo dei limiti(con x tendente a + o - infinito mi esece il classico rapporto infinito su infinito,solo che,essendoci una radice quadrata al denominatore non saprei come muovermi con il controllo dei coefficenti di grado massimo) e della derivata prima.
Nel secondo caso,invece,devo tracciare un grafico sommario di una funzione avente:
Asintoto verticale $x=0$ (verso + e - infinito)
Due asintoti obliqui $ y=x+1 $ verso + infinito e $y=x-1$ verso -infinito
Nel primo quadrante la funzione non interseca mai l'asintoto obliquo,nel terzo quadrante,a funzione attraversa l'asintoto obliquo nel punto di ascissa $x=-1$
Possiede un punto di massimo relativo $x=-2$
Minimo relativo $x=1$
Punto di flesso $x=-3$
Spero che almeno voi possiate aiutarmi.Grazie mille anticipatamente e a risentirvi!.
Nel secondo caso,invece,devo tracciare un grafico sommario di una funzione avente:
Asintoto verticale $x=0$ (verso + e - infinito)
Due asintoti obliqui $ y=x+1 $ verso + infinito e $y=x-1$ verso -infinito
Nel primo quadrante la funzione non interseca mai l'asintoto obliquo,nel terzo quadrante,a funzione attraversa l'asintoto obliquo nel punto di ascissa $x=-1$
Possiede un punto di massimo relativo $x=-2$
Minimo relativo $x=1$
Punto di flesso $x=-3$
Spero che almeno voi possiate aiutarmi.Grazie mille anticipatamente e a risentirvi!.
Risposte
ti do un aiuto per quanto riguarda la prima funzione
quando vai a studiare i limiti negli estremi del dominio (che in questo caso è tutto R), per eliminare l'indeterminazione devi estrarre $x^2$ da sotto radice ; ottieni:
$x/(|x|sqrt(1+1/x^2))$ ; semplifica la x al numeratore e denominatore: per $x->-oo$ il limite è -1 per $x->+oo$ il limite è +1
quando vai a studiare i limiti negli estremi del dominio (che in questo caso è tutto R), per eliminare l'indeterminazione devi estrarre $x^2$ da sotto radice ; ottieni:
$x/(|x|sqrt(1+1/x^2))$ ; semplifica la x al numeratore e denominatore: per $x->-oo$ il limite è -1 per $x->+oo$ il limite è +1
Ah ok grazie mille,scusate se sono banali le mie richieste ma ho diverse lacune in matematica,se qualcuno poi fosse in grado di tracciare il grafico del secondo caso,anche solo approssimativamente mi sarebbe utilissimo.Grazie ancora.Ah mi servirebbe anche la derivata prima se possibile,l'ho svolta ma mi è venuta una frazione piuttosto farcita..
non viene poi così difficile
usa la regola della derivata di un quoziente, poi riduci il numeratore allo stesso denominatore :$sqrt(x^2+1)$ ed alla fine ottieni:
$1/((x^2+1)sqrt(x^2+1))$
usa la regola della derivata di un quoziente, poi riduci il numeratore allo stesso denominatore :$sqrt(x^2+1)$ ed alla fine ottieni:
$1/((x^2+1)sqrt(x^2+1))$
mmmm...magari non sono in grado di notare la semplificazione ma,considerando la derivata composta,mi risulta $ [sqrt(x^2+1) - (4x^2)/(sqrt(x^2+1))]/(x^2+1) $ ponendo poi $y'=0$ mi risulta $x=sqrt1/3$ (in realtà la radice è estesa a tutta la frazione,però non riesco a scriverlo! quindi è la radice quadrata di 1/3 non solo di 1)
c'è un errore, poichè derivando viene :
$(sqrt(x^2+1)-x(2x)/(2sqrt(x^2+1)))/(x^2+1)$
riducendo allo stesso denominatore hai:
$(x^2+1-x^2)/((x^2+1)sqrt(x^2+1))$ , e semplificando ottieni la derivata che ti ho scritto
questa non si annulla mai, ma è sempre maggiore di zero, quindi la funzione è strettamente crescente su tutto il dominio
$(sqrt(x^2+1)-x(2x)/(2sqrt(x^2+1)))/(x^2+1)$
riducendo allo stesso denominatore hai:
$(x^2+1-x^2)/((x^2+1)sqrt(x^2+1))$ , e semplificando ottieni la derivata che ti ho scritto
questa non si annulla mai, ma è sempre maggiore di zero, quindi la funzione è strettamente crescente su tutto il dominio
scusa l'ignoranza ma a me continua a venire lo stesso risultato, l'inizio della derivata prima mi risulta: $ (sqrt(x^2+1)-x(1/2x^2 + 1/2)^(-1/2)(2x))/(x^2+1) $
la derivata di $sqrt (x^2+1)$ , che si può scrivere come :$(x^2+1)^(1/2)$ , è :
$(1/2)(x^2+1)^(-1/2)*2x$ , cioè $(2x)/(2sqrt(x^2+1))$
$(1/2)(x^2+1)^(-1/2)*2x$ , cioè $(2x)/(2sqrt(x^2+1))$
ah ok forse ho capito,grazie,per quanto riguarda la rappresentazione della funzione?
non so come disegnarti il grafico , quindi te lo spiego:
dovrebbe venir fuori un ramo d'iperbole nel primo quadrante, avente come asintoti quello obliquo e l'asse y
il resto della curva è nel terzo quadrante; come hai scritto tu, interseca l'asintoto obliquo ma poi cambia la concavità (nel punto di flesso) e tende all'asintoto obliquo
dovrebbe venir fuori un ramo d'iperbole nel primo quadrante, avente come asintoti quello obliquo e l'asse y
il resto della curva è nel terzo quadrante; come hai scritto tu, interseca l'asintoto obliquo ma poi cambia la concavità (nel punto di flesso) e tende all'asintoto obliquo
eh l'ho scritto io perchè era nel testo XD però non c'ho capito niente.A parole ahimè continuo a non capire,anche se credo sia venuto molto diverso dal mio.Detto in parole povere la mia funzione parte da prima di -3(dal 3°quadrante),lo interseca e sale fin dove,all'altezza di x=2 raggiunge la massima altezza,poi scende intersecando x=-1 e continua a scendere intersecando y=-1(attraverso il quale passa l'asintoto obliquo) per poi incurvarsi nuovamente all'altezza di x=1(minimo).Probabilmente è un abominio quello che mi è uscito ma non so fare di meglio...spero di essere riuscito a spiegarmi,anche se in maniera un po grezza.
provo a disegnarti qualcosa di simile :
[asvg]xmin=-2.5 ; xmax=2.5;
ymin=-2;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("(x^2-1)^2/(x^3)");[/asvg]
non so se riesci a visualizzare il grafico; comunque la tua curva non tocca mai l'asse x e, ovviamente, non può intersecare l'asse y , visto che questo è un asintoto verticale
ho fatto delle prove ed ho visto che il grafico di una funzione fratta non appare; mi dispiace, perchè non so cosa altro fare per visualizzarlo
[asvg]xmin=-2.5 ; xmax=2.5;
ymin=-2;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("(x^2-1)^2/(x^3)");[/asvg]
non so se riesci a visualizzare il grafico; comunque la tua curva non tocca mai l'asse x e, ovviamente, non può intersecare l'asse y , visto che questo è un asintoto verticale
ho fatto delle prove ed ho visto che il grafico di una funzione fratta non appare; mi dispiace, perchè non so cosa altro fare per visualizzarlo
mmmmm...
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