Studi di curve e di superfici
Ho cercato su moltissime dispense reperibili su google ma in praticamente nessuna di esse viene spiegato nel dettaglio come fare uno studio completo di una curva [nel pieno e nello spazio] o di una superficie. Per studio completo intendo dire un qualcosa di analogo allo studio di funzione [con tanto di grafico] che normalmente si fa in analisi. Non si può fare oppure è terribilmente complicato da far perdere ogni interesse?
Risposte
A me piace immaginare l'aspetto del grafico di funzioni in 2 variabili: a volte ci riesco.
"gio73":Ma bene o male, con tanto impegno ci si riesce a fare uno studio completo di una funzione di 2 variabili. Poi c'è anche un "trucco" perché studiando i grafici sezione si ottengono degli studi di funzione di una variabile dipendenti da un parametro e quindi bene o male si sa come procedere [anche se può essere terribilmente complicato svolgere i conti]. Però non so come fare se voglio tracciare il grafico di \[ \gamma(t) := (x(t),y(t)) \] o peggio ancora di \[ \gamma(t) := (x(t),y(t),z(t)) \] S', ok posso calcolarmi versori e vettori tangenti, torsioni e curvature ma cos'altro posso fare e come riciclo le informazioni che ricavo?
A me piace immaginare l'aspetto del grafico di funzioni in 2 variabili: a volte ci riesco.
Non c'è un modo semplice per mettere insieme quelle informazioni, così come accade per le funzioni di una o due variabili; pertanto di solito si soprassiede al disegnino della curva/superficie.
"gugo82":Quindi non si può fare nulla?
Non c'è un modo semplice per mettere insieme quelle informazioni, così come accade per le funzioni di una o due variabili; pertanto di solito si soprassiede al disegnino della curva/superficie.
"magliocurioso":Quindi non si può fare nulla?[/quote]
[quote="gugo82"]Non c'è un modo semplice per mettere insieme quelle informazioni, così come accade per le funzioni di una o due variabili; pertanto di solito si soprassiede al disegnino della curva/superficie.
Usare WolframAlpha?...
In alcuni casi si riesce pure a fare il disegnino (ce la facevano Newton e Leibniz con le piume e l'inchiostro, perchè non potremmo farcela noi con le biro?), però di solito è solo una perdita di tempo procedere "a mano".
"gugo82":Bhe se è per questo anche studiare le funzioni di una e più variabili solo una perdita di tempo. Però alla fine sì, il disegno lo si può far fare al calcolatore però anche "facendolo a mano" non si fa altro che riassumere graficamente le informazioni ricavate facendo i conti. Poi adesso WolframAlpha non è più free come i primi tempi. Più che il disegno [prima ho scritto disegno perché per poterlo tracciare bisogna prima calcolarsi diverse cose] sa me interessa capire come fare i conti con carta e penna.
Usare WolframAlpha?...
In alcuni casi si riesce pure a fare il disegnino (ce la facevano Newton e Leibniz con le piume e l'inchiostro, perchè non potremmo farcela noi con le biro?), però di solito è solo una perdita di tempo procedere "a mano".
Scusate ma se io ho una curva del piano o dello spazio e mi calcolo le seguenti cose
[*:33gyqdjj] Studio di ogni componente come se fosse una singola funzione [/*:m:33gyqdjj][*:33gyqdjj] Vettore tangente [/*:m:33gyqdjj][*:33gyqdjj] Torsione, [/*:m:33gyqdjj][*:33gyqdjj] Curvatura, [/*:m:33gyqdjj][*:33gyqdjj] Ascissa curvilinea [/*:m:33gyqdjj][*:33gyqdjj] (cos'altro sto dimenticando?) [/*:m:33gyqdjj][/list:u:33gyqdjj] ecco, non posso in qualche modo riciclare le informazioni che ne ottengo per studiare le proprietà della curva stessa? Magari il grafico sarà troppo complicato da fare a mano però almeno le informazioni principali le si possono dedurre semplicemente calcolandole?
E' ovvio che questi oggetti ti diano informazioni sulle proprietà della curva. Ed è ovvio che tutte queste cose "siano" lo studio della curva, a cui però, come affermava gugo in precedenza, difficilmente riuscirai ad associare un grafico. Cos'altro vuoi?
"magliocurioso":
Scusate ma se io ho una curva del piano o dello spazio e mi calcolo le seguenti cose
[*:1yj0q1s2] Studio di ogni componente come se fosse una singola funzione [/*:m:1yj0q1s2][*:1yj0q1s2] Vettore tangente [/*:m:1yj0q1s2][*:1yj0q1s2] Torsione, [/*:m:1yj0q1s2][*:1yj0q1s2] Curvatura, [/*:m:1yj0q1s2][*:1yj0q1s2] Ascissa curvilinea [/*:m:1yj0q1s2][*:1yj0q1s2] (cos'altro sto dimenticando?) [/*:m:1yj0q1s2][/list:u:1yj0q1s2] ecco, non posso in qualche modo riciclare le informazioni che ne ottengo per studiare le proprietà della curva stessa? Magari il grafico sarà troppo complicato da fare a mano però almeno le informazioni principali le si possono dedurre semplicemente calcolandole?
Nella tua lista hai dimenticato le essenziali informazioni di chiusura e semplicità della curva
In ogni caso è un problema che mi sono posto anche io!
Secondo me però, pur avendo tutte le informazioni, arriveremo solamente ad avere un'idea locale della curva, in un dato valore del parametro; e chiaramente la curva è qualcosa di più che "l'unione" delle tre funzioni componenti, quindi non sappiamo bene come sia il grafico completo...
Io risolvo calcolando per punti
(soprattutto quando sono espresse in coordinate polari :S)
"ciampax":In realtà sto cercando di fare esercizi di astrazione e generalizzazione. Se ad esempio imparo a fare conti su curve nel piano e nello spazio penso poi sia più facile come dire, estendere poi tali concetti anche per le superfici dello spazio. Con una buona padronanza di questi concetti penso sarà più facile passare allo studio dei campi vettoriali.
Cos'altro vuoi?
Ah, ho capito. Tu stai parlando di determinare una "casistica" (chiamiamola così) che ti permetta di costruire certe relazioni le quali, al pari delle formule di Frenet o delle relazione intrinseche su di una superficie (prima e seconda forma fondamentale) ti portino a definire le proprietà generali di un ente geometrico, dico bene? Bé, questa cosa esiste, è nota, ed è una branca a cui ha dato il via E.Cartan, costruendo una formulazione generale per lo studio di varietà $n$-dimensionali che avesse come casi particolari quelli di curve e superfici in $RR^3$: la teoria del calcolo differenziale esterno o, se preferisci, le forme differenziali. Ci sono molti testi a tal proposito che parlano di questa roba da un punto di vista prettamente "pratico": uno che io apprezzo molto è il seguente
"Cartan for beginners: differential geometry via moving frames and exterior differential systems"
T.A.Ivey, J.M.Landsberg - Graduate studies in Math. 61 - AMS editor
Un ottimo testo che, a differenza del primo, incentrato sulla geometria, introduce (con una ricca serie di esempi ed esercizi) allo studio delle forme differenziali (e che è scritto in un linguaggio moderno e immediato) è il seguente:
Differential forms and connections
R.W.R.Darling - Cambridge University Press.
"Cartan for beginners: differential geometry via moving frames and exterior differential systems"
T.A.Ivey, J.M.Landsberg - Graduate studies in Math. 61 - AMS editor
Un ottimo testo che, a differenza del primo, incentrato sulla geometria, introduce (con una ricca serie di esempi ed esercizi) allo studio delle forme differenziali (e che è scritto in un linguaggio moderno e immediato) è il seguente:
Differential forms and connections
R.W.R.Darling - Cambridge University Press.
Stavo proprio cercando la stessa cosa. Ho trovato queste dispense http://www.mat.uniroma1.it/people/sambu ... menti5.pdf
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