Strategia di eliminazione di numeri complessi nel denominatore

[DriveKnight]

Salve,

Ho un esame di circuiti elettrici lineari e quando si tratta di fasori i numeri che mi escono sono, ovviamente, in parte complessi. Applicando il teorema di kirchoff ottengo l'equazione complessa.
Per semplificare i calcoli elimino i numeri complessi dal denominatore. Questa sarebbe la strategia giusta?

Es:
$ (20 - v1)/(10) = (v1) /(j2.5)+ (v1 - v2)/(j4) $

Moltiplico per $ j^2 $ il numeratore nella parte destra essendo $ j^2 = -1 $
$ (20 - v1)/(10) = (v1* j^2) /(j2.5)+ (v1 - v2)*j^2/(j4) $

Ottenendo
$ (20 - v1)/(10) = (v1* j) /(2.5)+ (v1 - v2)*j/(4) $

Trovo il comun denominatore che è 10 e calcolo i membri, poi elido il denominatore per entrambi i lati
$ (20 - v1)/(10) = (4v1* j - 2.5v1*j + 2.5*j) /(10) $

$ (20 - v1) = (4v1* j - 2.5v1*j + 2.5*j) $

Ottengo

$ 20 = (1 + 2.5*j)v1 + 2.5v2*j $

La strategia giusta è questa? Altrimenti come andrebbe semplificata tale equazione? Grazie e cordiali saluti

[ingres]

Non puoi moltiplicare solo il membro destro per $j^2=-1$. Moltiplica anche il sinistro per -1.

Comunque più semplicemente puoi usare la seguente: $1/j=-j$

[pilloeffe]

Ciao DriveKnight,

"DriveKnight":Applicando il teorema di kirchoff [...]

A parte il fatto che ritengo che il grande matematico e fisico tedesco Gustav Robert Georg Kirchhoff meriti che il suo cognome sia scritto se non proprio correttamente almeno con la lettera maiuscola, in realtà non è poi strettamente necessario rendere reale il denominatore, si può semplicemente trovare il denominatore comune e poi moltiplicare per quello i due membri dell'equazione:

$(20 - v_1)/(10) = (v_1) /(j2,5)+ (v_1 - v_2)/(j4) $

Si vede subito ad occhio che il denominatore comune è $j10 $, per cui si ha:

$(j20 - jv_1)/(j10) = (4v_1) /(j10)+ 2,5(v_1 - v_2)/(j10) $

$ j20 - jv_1 = 4v_1 + 2,5(v_1 - v_2) $

$2,5 v_2 = 6,5 v_1 + jv_1 - j20 $

$10 v_2 = (26 + 4j)v_1 - j80 $

$v_2 = (2,6 + 0,4j)v_1 - j8 $

[DriveKnight]

"pilloeffe":Ciao DriveKnight,
[quote="DriveKnight"]Applicando il teorema di kirchoff [...]

A parte il fatto che ritengo che il grande matematico e fisico tedesco Gustav Robert Georg Kirchhoff meriti che il suo cognome sia scritto se non proprio correttamente almeno con la lettera maiuscola, in realtà non è poi strettamente necessario rendere reale il denominatore, si può semplicemente trovare il denominatore comune e poi moltiplicare per quello i due membri dell'equazione:

$(20 - v_1)/(10) = (v_1) /(j2,5)+ (v_1 - v_2)/(j4) $

Si vede subito ad occhio che il denominatore comune è $j10 $, per cui si ha:

$(j20 - jv_1)/(j10) = (4v_1) /(j10)+ 2,5(v_1 - v_2)/(j10) $

$ j20 - jv_1 = 4v_1 + 2,5(v_1 - v_2) $

$2,5 v_2 = 6,5 v_1 + jv_1 - j20 $

$10 v_2 = (26 + 4j)v_1 - j80 $

$v_2 = (2,6 + 0,4j)v_1 - j8 $[/quote]

Grazie ho provato. Anche se non devo trovare direttamente v2 ma impostare l'equazione risultante come quella che ho messo come risultato nella domanda, per poter poi mettere i valori di v1 e v2 in matrice e risolvere la matrice stessa.

Quindi è anche corretto se, per manipolare l'equazione uso l'eguaglianza $ 1/j = -j $ ?

In questo modo, dopo aver usato j10 come comun denominatore, moltiplico entrambi i membri per $ 1/j = -j $

$ (1/j) $ $ j20 - jv1 = -4v1 + 2,5(v1 - v2) $ $ (-j) $
Nella parte sinistra mantengo $ 1/j $ , mentre nella destra sono libero di usare l'altra forma? Per arrivare al risultato

$ 20 - v1 = j4v1 -j2,5v1 +j2,5v2 $
Ottenendo

$ 20 = (1 + j1,5)v1 + j2,5v2 $
E' ancora corretta questa manipolazione?

[pilloeffe]

"DriveKnight":Quindi è anche corretto se, per manipolare l'equazione uso l'eguaglianza $1/j=−j $?

Beh certo, ciò che ti ha scritto ingres è corretto.

"DriveKnight":$ 20 = (1 + j1,5)v1 + j2,5v2 $
E' ancora corretta questa manipolazione?

La manipolazione sì, non mi torna però il tuo risultato, infatti partendo da quello che ho scritto moltiplicando per $j$ si ha:

$ 2,5j v_2 = 6,5j v_1 - v_1 + 20 $

$20 = (1 - 6,5j)v_1 + 2,5j v_2 $

[ingres]

Scrivendo direttamente l'equazione originaria con 1/j=-j si ha:

$2 - 0.1v_1=-0.4jv_1-0.25jv_1+0.25jv_2$

$(0.1-0.65j)v_1+0.25jv_2=2$

come da soluzione di pilloeffe.

E' sbagliato il primo passaggio dove nel termine di destra c'è un errore.

[ingres]

Questi sono i passaggi corretti:

$j20-jv_1 =4v_1+2.5(v_1-v_2)$

divido per j il primo membro e moltiplico per -j il secondo
$20-v_1=-4jv_1 -2.5jv_1+2.5jv_2$

$20 = (1-6.5j)v_1+2.5 jv_2$