Strano risultato di un integrale...
Ciao a tutti! Non riesco a trovare l'errore in questa applicazione della formula di integrazione per parti, per la quale $\int Fg = FG - \int fG$
Adesso, provo ad applicarla all'integrale della tangente di x
$\int tan x dx= \int sin x * 1 / (cos x) dx = - cos x * 1/(cosx) - \int (-cos x) * -(1 /(cos^2x)) *(- sin x) dx = -1 + \int sinx / cosx dx= -1 + \int tan x dx$
Quindi, ricapitolando
$\int tan x dx= -1 + \int tan xdx$ ovvero $\int tan x dx - \int tan x dx = -1$ ovvero $0 = -1$!!!
Adesso.. vista l'assurdita del risultato... dove è l'errore?
Adesso, provo ad applicarla all'integrale della tangente di x
$\int tan x dx= \int sin x * 1 / (cos x) dx = - cos x * 1/(cosx) - \int (-cos x) * -(1 /(cos^2x)) *(- sin x) dx = -1 + \int sinx / cosx dx= -1 + \int tan x dx$
Quindi, ricapitolando
$\int tan x dx= -1 + \int tan xdx$ ovvero $\int tan x dx - \int tan x dx = -1$ ovvero $0 = -1$!!!
Adesso.. vista l'assurdita del risultato... dove è l'errore?
Risposte
Ricorda che $int tan x dx$ non rappresenta un numero o una funzione, ma un insieme di primitive. E la differenza di due primitive di una stessa funzione è una costante (infatti nell'ultimo passaggio hai $-1$ a destra, che è una costante).
Per far tornare la formula dell'integrale per parti bisogna fissare due estremi di integrazione.
Per far tornare la formula dell'integrale per parti bisogna fissare due estremi di integrazione.
Giusto! Come idea va bene il fatto che $\int tan x dx - \int tanx dx = -1$ vuol dire $\int tanx - tan x dx = \int 0 dx= c = -1$? Giusto per capirese ho afferrato il concetto 
Sì, in un certo senso è giusto.
Ma io preferirei vederla in questo modo: scegliendo due estremi di integrazione $a
$int_a^b tan x dx - int_a^b tan x dx = [-1]_a^b$
Il primo membro è ovviamente zero, e infatti lo è anche il secondo: $[-1]_a^b = -1-(-1)=0$.
Prova a riguardare l'integrazione per parti, vedrai che la formula è enunciata cogli estremi di integrazione. O al massimo se non ci sono estremi di integrazione viene specificato che l'uguaglianza vale a meno di aggiungere una costante.
[size=75]Nota bene: questo naturalmente su testi universitari, non delle superiori.[/size]
Ma io preferirei vederla in questo modo: scegliendo due estremi di integrazione $a
$int_a^b tan x dx - int_a^b tan x dx = [-1]_a^b$
Il primo membro è ovviamente zero, e infatti lo è anche il secondo: $[-1]_a^b = -1-(-1)=0$.
Prova a riguardare l'integrazione per parti, vedrai che la formula è enunciata cogli estremi di integrazione. O al massimo se non ci sono estremi di integrazione viene specificato che l'uguaglianza vale a meno di aggiungere una costante.
[size=75]Nota bene: questo naturalmente su testi universitari, non delle superiori.[/size]
"enpires":
Quindi, ricapitolando
$\int tan x dx= -1 + \int tan xdx$ ovvero $\int tan x dx - \int tan x dx = -1$ ovvero $0 = -1$!!!
Adesso.. vista l'assurdita del risultato... dove è l'errore?
Non c'è alcuna assurdità.
Il simbolo $\int tan x dx$ non denota una funzione, ma una classe di funzioni che differiscono tra loro per una costante arbitraria.
Pertanto la scrittura
$\int tan x dx= -1 + \int tan xdx$
non è contraddittoria, perché la classe di funzioni che denotiamo con
$\int tan x dx$
è uguale alla classe di funzioni che denotiamo con $-1+\int tan x dx$.
L'uguaglianza $\int tan x dx= -1 + \int tan xdx$ è però un'uguaglianza insiemistica, non un'uguaglianza fra elementi di un gruppo additivo.
Pertanto da essa non segue affatto che $-1 = 0$.
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