Strano esercizio sulle derivate parziali
Salve a tutti,
vorrei chiedere un aiuto per questo esercizio, trovato su un foglio di esercizi in rete:
Sia $f$ derivabile in A aperto di $ RR^3$ . Per $xi$ e $xi^{\prime}$ definiamo $xi @ xi^{\prime} = (x+x^{\prime} , y+y^{\prime} , z + z^{\prime} + 2(x^{\prime} y - xy^{\prime}))$ .
Indicando con $e_1$, $e_2$, $e_3$ la base canonica determinare $ Xf(xi)= lim_(h->0) (f(xi @ he_1)-f(xi))/h$ e $Yf(xi)= lim_(h->0) (f(xi @ he_2)-f(xi))/h$.
Dimostrare che se $Xf$ e $Yf$ sono derivabili, allora $X(Yf(xi))-Y(Xf(xi))= -4 (partial f)/(partial z) (xi)$
Per la prima parte ho trovato questi due risultati: $Xf(xi) = (partial f)/(partial x) (xi) +2y (partial f)/(partial z) (xi)$
$Yf(xi) = (partial f)/(partial y) (xi) -2x (partial f)/(partial z) (xi)$ .
Per la seconda parte credo che serva il teorema di Schwarz, perché facendo tutti i calcoli delle "derivate speciali" e derivate parziali, mi rimangono dei termini di derivate miste con segno opposto.
Come faccio, cono la sola derivabilità di $Xf$ e $Yf$, a dire che le derivate di $f$ sono continue?
vorrei chiedere un aiuto per questo esercizio, trovato su un foglio di esercizi in rete:
Sia $f$ derivabile in A aperto di $ RR^3$ . Per $xi$ e $xi^{\prime}$ definiamo $xi @ xi^{\prime} = (x+x^{\prime} , y+y^{\prime} , z + z^{\prime} + 2(x^{\prime} y - xy^{\prime}))$ .
Indicando con $e_1$, $e_2$, $e_3$ la base canonica determinare $ Xf(xi)= lim_(h->0) (f(xi @ he_1)-f(xi))/h$ e $Yf(xi)= lim_(h->0) (f(xi @ he_2)-f(xi))/h$.
Dimostrare che se $Xf$ e $Yf$ sono derivabili, allora $X(Yf(xi))-Y(Xf(xi))= -4 (partial f)/(partial z) (xi)$
Per la prima parte ho trovato questi due risultati: $Xf(xi) = (partial f)/(partial x) (xi) +2y (partial f)/(partial z) (xi)$
$Yf(xi) = (partial f)/(partial y) (xi) -2x (partial f)/(partial z) (xi)$ .
Per la seconda parte credo che serva il teorema di Schwarz, perché facendo tutti i calcoli delle "derivate speciali" e derivate parziali, mi rimangono dei termini di derivate miste con segno opposto.
Come faccio, cono la sola derivabilità di $Xf$ e $Yf$, a dire che le derivate di $f$ sono continue?
Risposte
Guarda che ti dice che "supponendo $Xf$ e $Yf$ derivabili" per cui le derivate parziali di $f$ sono supposte derivabili, non ti pare?
Il fatto che siano derivabili mi assicura che siano continue? Non serve la differenziabilità delle funzioni derivate parziali per avere la loro continuità?
Mah, dunque, io sto ragionando sul fatto che $X=\partial_x+2y\partial_z$ puoi considerarlo come un campo di derivazione, ed essendo una combinazione lineare continua di derivate, risulta continuo. Però magari tu non hai mai affrontato la cosa da questo punto di vista.
No, non l'ho mai vista questa cosa. C'è un modo più semplice per vedere la cosa?
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