Strani isomorfismi...

[Davideflo]

Ciao a tutti,
oggi a lezione, il mio prof di E.D.P. II nel rispondere ad una domanda sulla normabilità di $C^{oo}(bar (Omega))$, dove $Omega$ è un aperto in $RR^n$, ha citato l'esistenza di un isomorfismo algebrico tra $L^2 (Omega)$ e lo stesso $C^{oo}(bar (Omega))$.
Qualcuno saprebbe dirmi di più?
Grazie mille.
Davide

[dissonance]

Mah, forse ha fatto un discorso di cardinalità. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno basi algebriche di uguale cardinalità ed evidentemente è il caso di $L^2(Omega)$ e $C^infty(\bar{Omega})$. Mi rendo conto di non dire niente di sostanziale ma è il massimo che riesco a fare!
E poi, che io sappia è il concetto stesso di isomorfismo algebrico a non essere sostanziale, tra spazi di dimensione infinita.

[EDIT]Mi è capitato di rileggere il post. Specifico che con quell'"evidentemente" non intendo dire che si tratta di una cosa ovvia, ma che se i due spazi sono isomorfi sarà certamente vero. Come dimostrarlo è un altro paio di maniche.

[Davideflo]

In effetti, non si è capito molto cosa intendesse dire con "isomorfismo algebrico"... Oltretutto sarebbe interessante, anche perchè, così, $ C^{oo}(bar (Omega)) $ sarebbe uno spazio di Hilbert. Il fatto è che, almeno così ha detto il prof., si troverebbe che $ C^{oo}(bar (Omega)) $ è localmente convesso, ma non localmente limitato. Ha concluso dicendo che se ci interessano queste cose, possiamo leggerci il primo capitolo del Functional Analysis di W. Rudin. Io ci ho dato un'occhiata, ma questo discorso non l'ho trovato!

[dissonance]

"Davideflo":Oltretutto sarebbe interessante, anche perchè, così, $ C^{oo}(bar (Omega)) $ sarebbe uno spazio di Hilbert.

Si, va bene, sarebbe uno spazio di Hilbert nel senso che, detto $L:L^2 \to C^{\infty}$ (ometto di specificare ogni volta $Omega$ e $\bar{Omega}$) l'isomorfismo algebrico, potresti normare $C^{\infty}$ mediante

$||Lu||_{**}=||u||_{L^2}$

per ogni $u\inL^2$. Ma di questa norma non te ne fai nulla. Sicuramente essa non sarà equivalente a quella naturale di $C^{\infty}$([size=75][edit]Anche perché $C^infty$ non è uno spazio normato! Me ne sono ricordato dopo. [/edit][/size]) e inoltre anche l'applicazione $L$ non credo si possa definire in modo esplicito ma piuttosto mediante qualche discorso di esistenza iper-astratto (quello che facevo prima coinvolge il principio di induzione transfinita o, se preferisci, il lemma di Zorn).

Per fare un parallelo più terra-terra, anche $RR$ si può vedere come un $QQ$-spazio vettoriale. Sempre come applicazione dei risultati di teoria degli insiemi che dicevo prima, si può dimostrare che $RR$ ammette una $QQ$-base. Apparentemente è un risultato formidabile, ma in realtà andando a vedere bene questa $QQ$-base è un oggetto tanto astratto da non essere gestibile nel concreto. E quindi anche il "risultato formidabile" ha un raggio di applicabilità MOLTO più ristretto.