Strana equazione differenziale
$ { (x'=(5x+4)/(5t-1)+(5t-1)/(5x+4)\log ((2x+3t+1)/(3x+2t+2))),(x(1)=1):} $
Non ho prorio idea su come si possa risolvere, ho provato varie sostituzioni, ma niente...qualche hint?
Non ho prorio idea su come si possa risolvere, ho provato varie sostituzioni, ma niente...qualche hint?
Risposte
Tutto sta nel sapere come agire...
Introduciamo una nuova variabile indipendente ed una nuova variabile dipendente:
\[
\tau = 5t-1 \qquad \text{e}\qquad z=5x+4\; ;
\]
denotando col punto la derivata rispetto a \(\tau\) si ha:
\[
\begin{split}
\dot{z} &= \frac{\text{d} z}{\text{d} \tau}\\
&= \frac{\text{d} t}{\text{d} \tau}\ \frac{\text{d} z}{\text{d} t}\\
&= \frac{1}{\frac{\text{d} \tau}{\text{d} t}}\ \frac{\text{d} z}{\text{d} t}\\
&= \frac{1}{\cancel{5}}\ \cancel{5}\ x^\prime\\
&= x^\prime
\end{split}
\]
quindi il problema si riscrive:
\[
\begin{cases}
\dot{z}(\tau) = \frac{z(\tau)}{\tau}+ \frac{\tau}{z(\tau)}\ \log \left( \frac{2z(\tau) +3\tau}{3z(\tau)+2\tau}\right)\\
z(4) = 9
\end{cases}
\]
in cui la EDO è a secondo membro omogeneo (perchè esso dipende unicamente dal rapporto \(\frac{z(\tau)}{\tau}\)) e si risolve con un ulteriore cambiamento di variabile.
In particolare, il cambiamento di variabile dipendente da fare è \(u(\tau) := \frac{z(\tau)}{\tau}\), di modo che la EDO diviene:
\[
\tau\ \dot{u}(\tau) = \frac{1}{u(\tau)}\ \log \left( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}\right)
\]
che è a variabili separabili, con condizione iniziale \(u(4)=9/4\).
Ovviamente, una volta determinata \(u(\tau)\), per risalire alla \(x(t)\) bisogna fare un po' di passaggi a ritroso: in particolare si vede che:
\[
\begin{cases}
z(\tau)=\tau\ u(\tau)\\
\tau = 5t-1\\
z(t)=5\ x(t)+4
\end{cases}
\]
e da qui si ricava \(x(t)\).
Ma questi tipi di equazione non si studiano più?
Introduciamo una nuova variabile indipendente ed una nuova variabile dipendente:
\[
\tau = 5t-1 \qquad \text{e}\qquad z=5x+4\; ;
\]
denotando col punto la derivata rispetto a \(\tau\) si ha:
\[
\begin{split}
\dot{z} &= \frac{\text{d} z}{\text{d} \tau}\\
&= \frac{\text{d} t}{\text{d} \tau}\ \frac{\text{d} z}{\text{d} t}\\
&= \frac{1}{\frac{\text{d} \tau}{\text{d} t}}\ \frac{\text{d} z}{\text{d} t}\\
&= \frac{1}{\cancel{5}}\ \cancel{5}\ x^\prime\\
&= x^\prime
\end{split}
\]
quindi il problema si riscrive:
\[
\begin{cases}
\dot{z}(\tau) = \frac{z(\tau)}{\tau}+ \frac{\tau}{z(\tau)}\ \log \left( \frac{2z(\tau) +3\tau}{3z(\tau)+2\tau}\right)\\
z(4) = 9
\end{cases}
\]
in cui la EDO è a secondo membro omogeneo (perchè esso dipende unicamente dal rapporto \(\frac{z(\tau)}{\tau}\)) e si risolve con un ulteriore cambiamento di variabile.
In particolare, il cambiamento di variabile dipendente da fare è \(u(\tau) := \frac{z(\tau)}{\tau}\), di modo che la EDO diviene:
\[
\tau\ \dot{u}(\tau) = \frac{1}{u(\tau)}\ \log \left( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}\right)
\]
che è a variabili separabili, con condizione iniziale \(u(4)=9/4\).
Ovviamente, una volta determinata \(u(\tau)\), per risalire alla \(x(t)\) bisogna fare un po' di passaggi a ritroso: in particolare si vede che:
\[
\begin{cases}
z(\tau)=\tau\ u(\tau)\\
\tau = 5t-1\\
z(t)=5\ x(t)+4
\end{cases}
\]
e da qui si ricava \(x(t)\).
Ma questi tipi di equazione non si studiano più?
fenomenale *.*
sarebbe bello studiarlo in un corso a parte dall'analisi II, altrimenti sarebbe la fine, da dove l'hai presa fuori questo esercizio?
(che fonte)
sarebbe bello studiarlo in un corso a parte dall'analisi II, altrimenti sarebbe la fine, da dove l'hai presa fuori questo esercizio?
(che fonte)
@bartsimpson: Beh, io le ho fatte in Analisi II queste cose... Ma erano altri tempi.
Caspita, grazie dell'illuminante risposta. Ho capito il procedimento, però non riesco comunque a risolvere l'ultima equazione a variabili separabili
$ \tau\ \dot{u}(\tau) = \frac{1}{u(\tau)}\ \log ( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}) $
che sarebbe
$ \frac {u d u}{\log ( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}) }= 1/ \tau d\tau $
Ovviamente il problema è nell'integrare il primo membro..quale sarebbe una possibile strada per farlo?
@bartsimpson: la fonte non la so, l'esercizio era in una prova d'esame
$ \tau\ \dot{u}(\tau) = \frac{1}{u(\tau)}\ \log ( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}) $
che sarebbe
$ \frac {u d u}{\log ( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}) }= 1/ \tau d\tau $
Ovviamente il problema è nell'integrare il primo membro..quale sarebbe una possibile strada per farlo?
@bartsimpson: la fonte non la so, l'esercizio era in una prova d'esame
"albireo":
Caspita, grazie dell'illuminante risposta.
Prego.
"albireo":
Ho capito il procedimento, però non riesco comunque a risolvere l'ultima equazione a variabili separabili
$ \tau\ \dot{u}(\tau) = \frac{1}{u(\tau)}\ \log ( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}) $
che sarebbe
$ \frac {u d u}{\log ( \frac{2 u(\tau) +3}{3 u(\tau)+2}) }= 1/ \tau d\tau $
Ovviamente il problema è nell'integrare il primo membro..quale sarebbe una possibile strada per farlo?
Mmm... E pure hai ragione.
L'integrale:
\[
\int_{9/4}^u \frac{\theta}{\log \left( \frac{2\theta +3}{3\theta +2}\right)}\ \text{d}\theta
\]
non sembra un integrale elementare.
"albireo":
l'esercizio era in una prova d'esame
Sei proprio sicuro che l'esercizio chiedesse esplicitamente di risolvere l'equazione?
Si, la traccia dice: "studiare in base alla teoria e risolvere il problema di Cauchy"
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