Storia del calcolo differenziale
Salve a tutti... è un po' che mi chiedo come dimostro che il vettore derivata di una curva data dalla funzione $ phi:RR->RR^2 $ è tangente alla curva stessa... mi è stato detto che non c'è una dimostrazione ma la tangenza si ha per definizione. Il mio interrogativo quindi è da cosa è nato il concetto di derivata... cioè per quale scopo è stato creato...
Nelle poche letture che ho trovato sembra sia nata da un'esigenza fisica di mettere in relazione una quantità con il suo "tasso di incremento" nel tempo (spazio e velocita, ecc...)
Allora il fatto che per funzioni vettoriali fornisce il vettore tangente è stato un "caso"? Oppure lo scopo era proprio questo e solo dopo la derivata è stata usata anche per descrivere incrementi infinitesimi?...
Spero di essere stato abbastanza chiaro e se qualcuno ha da proporre dei libri su come queste cose sono nate e poi formalizzate accetto di leggerli ben volentieri.
Nelle poche letture che ho trovato sembra sia nata da un'esigenza fisica di mettere in relazione una quantità con il suo "tasso di incremento" nel tempo (spazio e velocita, ecc...)
Allora il fatto che per funzioni vettoriali fornisce il vettore tangente è stato un "caso"? Oppure lo scopo era proprio questo e solo dopo la derivata è stata usata anche per descrivere incrementi infinitesimi?...
Spero di essere stato abbastanza chiaro e se qualcuno ha da proporre dei libri su come queste cose sono nate e poi formalizzate accetto di leggerli ben volentieri.
Risposte
Innanzitutto, bisogna chiarire cosa sia da intendersi per "retta tangente" ad una curva parametrizzata d'equazione \(\mathbf{p}= \mathbf{p}(t)\) di \(\mathbb{R}^N\) in un suo punto \(\mathbf{p}_0=\mathbf{p}(t_0)\).
Si dice che la retta di equazione parametrica \(\mathbf{r}(t) := \mathbf{p_0} + (t-t_0)\ \mathbf{u}\), con \(\mathbf{u}\in \mathbb{R}^N\setminus\{\mathbf{0}\}\) è tangente alla curva \(\mathbf{p}(t)\) in \(\mathbf{p}_0\) se e solo se:
\[
\tag{1}
\left| \mathbf{p}(t) - \mathbf{r}(t)\right| = \text{o}(t-t_0)\qquad \text{per } t\to t_0
\]
ossia se:
\[
\lim_{t\to t_0} \left| \frac{1}{t-t_0}\ \left( \mathbf{p}(t) - \mathbf{p}(t_0) + (t-t_0)\ \mathbf{u} \right)\right| = 0\; .
\]
Scomponendo il limite nelle sue componenti scalari, si trova che esso equivale a dire che:
\[
\lim_{t\to t_0} \frac{p^n (t) - p^n(t_0) + (t-t_0)\ u^n}{t-t_0} = 0 \qquad \text{per } n=1,2,\ldots, N
\]
ossia che:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{p^n (t_0+h) - p^n(t_0) + h\ u^n}{h} = 0 \qquad \text{per } n=1,2,\ldots, N\; ;
\]
con qualche manipolazione algebrica dalla precedente segue:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{p^n (t_0+h) - p^n(t_0)}{h} = u^n \qquad \text{per } n=1,2,\ldots, N
\]
la quale importa:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{1}{t-t_0}\ \left( \mathbf{p}(t_0+h) - \mathbf{p}(t_0) \right) = \mathbf{u}\; .
\]
Questo significa che quando una curva parametrizzata è dotata di retta tangente in un punto, essa è regolare in tale punto ed il vettore derivato della parametrizzazione in tal punto uguaglia il vettore direzionale della tangente, i.e. \(\mathbf{p}^\prime(t_0) = \mathbf{u}\).
Viceversa, se una curva è regolare in un punto, allora il vettore derivato della parametrizzazione in tale punto si può usare come vettore direzionale di una retta che gode della proprietà (1), la quale perciò risulta essere tangente alla curva.
Si dice che la retta di equazione parametrica \(\mathbf{r}(t) := \mathbf{p_0} + (t-t_0)\ \mathbf{u}\), con \(\mathbf{u}\in \mathbb{R}^N\setminus\{\mathbf{0}\}\) è tangente alla curva \(\mathbf{p}(t)\) in \(\mathbf{p}_0\) se e solo se:
\[
\tag{1}
\left| \mathbf{p}(t) - \mathbf{r}(t)\right| = \text{o}(t-t_0)\qquad \text{per } t\to t_0
\]
ossia se:
\[
\lim_{t\to t_0} \left| \frac{1}{t-t_0}\ \left( \mathbf{p}(t) - \mathbf{p}(t_0) + (t-t_0)\ \mathbf{u} \right)\right| = 0\; .
\]
Scomponendo il limite nelle sue componenti scalari, si trova che esso equivale a dire che:
\[
\lim_{t\to t_0} \frac{p^n (t) - p^n(t_0) + (t-t_0)\ u^n}{t-t_0} = 0 \qquad \text{per } n=1,2,\ldots, N
\]
ossia che:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{p^n (t_0+h) - p^n(t_0) + h\ u^n}{h} = 0 \qquad \text{per } n=1,2,\ldots, N\; ;
\]
con qualche manipolazione algebrica dalla precedente segue:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{p^n (t_0+h) - p^n(t_0)}{h} = u^n \qquad \text{per } n=1,2,\ldots, N
\]
la quale importa:
\[
\lim_{h\to 0} \frac{1}{t-t_0}\ \left( \mathbf{p}(t_0+h) - \mathbf{p}(t_0) \right) = \mathbf{u}\; .
\]
Questo significa che quando una curva parametrizzata è dotata di retta tangente in un punto, essa è regolare in tale punto ed il vettore derivato della parametrizzazione in tal punto uguaglia il vettore direzionale della tangente, i.e. \(\mathbf{p}^\prime(t_0) = \mathbf{u}\).
Viceversa, se una curva è regolare in un punto, allora il vettore derivato della parametrizzazione in tale punto si può usare come vettore direzionale di una retta che gode della proprietà (1), la quale perciò risulta essere tangente alla curva.
"gugo82":
Innanzitutto, bisogna chiarire cosa sia da intendersi per "retta tangente" ad una curva parametrizzata d'equazione \( \mathbf{p}= \mathbf{p}(t) \) di \( \mathbb{R}^N \) .....
Buon di carissimo Gugo
Rette o in generale le curve si chiamano col termine di: "equazione di una retta", "equazione di una curva".
Sono forse più idonei i termini "funzione di una retta" , "funzione di una curva" ?
Perché questa terminologia, ovvero equazione e non funzione?
Saluti
Mino
Quindi il limite del rapporto incrementale è nato dall'esigenza di definire la retta tangente per curve generiche rimanendo coerenti con il significato che aveva per curve note come circonferenza, parabola ecc...?
L'uso che se ne fa in fisica per definire la velocità è stato quindi successivo a tale esigenza?
Grazie mille per la chiarissima spiegazione!
L'uso che se ne fa in fisica per definire la velocità è stato quindi successivo a tale esigenza?
Grazie mille per la chiarissima spiegazione!
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