Storia degli integrali notevoli
Salve.
Dopo aver letto un lungo reportage sul dilemma storico del concetto di "infinitesimo", mi chiedevo chi per primo ha ricavato gli integrali notevoli (che usiamo tutti i giorni) ed i metodi di integrazione. Mi chiedevo anche con quale tecnica si è riusciti per la prima volta ad aggirare il concetto di infinitesimo, ottenendo risultati definitivi. Forse ci si è riusciti partendo da risultati già noti?
Dopo aver letto un lungo reportage sul dilemma storico del concetto di "infinitesimo", mi chiedevo chi per primo ha ricavato gli integrali notevoli (che usiamo tutti i giorni) ed i metodi di integrazione. Mi chiedevo anche con quale tecnica si è riusciti per la prima volta ad aggirare il concetto di infinitesimo, ottenendo risultati definitivi. Forse ci si è riusciti partendo da risultati già noti?
Risposte
Il problema è a monte... Quando è stato "inventato" il Calcolo Integrale non esistevano le funzioni elementari! 
Ad esempio, non esisteva il logaritmo.
Ad esempio, non esisteva il logaritmo.
"gugo82":
Il problema è a monte... Quando è stato "inventato" il Calcolo Integrale non esistevano le funzioni elementari!
Ad esempio, non esisteva il logaritmo.
Partiamo dal concetto di integrale di Reiman. Egli ha strutturato la questione con i famosi sup e inf. È un concetto pero' che richiede \(\displaystyle n \) tendente a infinito. Quindi, materialmente, gli integrali basilari sono stati ottenuti con metodi che permettessero di non contare a infinito, presumo. Allora mi sono detto, se prendo un perimetro quadrato di area nota e lo deformo a tal punto da produrre un tratto della funzione\(\displaystyle x^3 \), io conosco gia l'area sottesa. Quindi la sommatoria che definisce l'integrale ha finalmente un certo risultato. Eseguendo questa procedura per le funzioni piú tipiche, possiamo calcolare l'integrale di qualunque funzione applicando i metodi di integrazione? Mi chiedevo appunto, se gli studi iniziali abbiano avuto questo decorso, e se le regole di integrazione sottointendano la tecnica matematica che permette di calcolare qualunque integrale partendo da quelli "ricavati".
Fai una ricerca sul "metodo di esaustione" che Archimede usò per calcolare $pi$ ...
"axpgn":
Fai una ricerca sul "metodo di esaustione" che Archimede usò per calcolare $ pi $ ...
Interessante. Cito da wikipedia: "All'aumentare del numero dei lati dei poligoni inscritti le figure tenderanno ad avvicinarsi alla forma del cerchio, tanto che egli ottenne una misura abbastanza precisa del π.
Il metodo di esaustione venne descritto all'interno del Metodo, un libro di Archimede in cui spiega questo procedimento. Esso è alla base del concetto di integrale di una funzione sviluppato nel Seicento da Newton e Leibniz."
I metodi di integrazioni comportano forse una approssimazione geometrica?
Se vuoi studiarti per bene gli integrali da un punto di vista più storico e in riferimento al principio di esaustione ti consiglio "Analisi 1" di Apostol.
"tmox":
Partiamo dal concetto di integrale di Reiman. Egli ha strutturato la questione con i famosi sup e inf.
Ma anche no... La costruzione dell'integrale con le somme integrali inferiore e superiore è dovuta a Darboux (se non ricordo male).
La costruzione originale di Riemann prevedeva le somme integrali con valori presi dalla funzione in punti a casaccio scelti negli intervallini della decomposizione.
"tmox":
È un concetto pero' che richiede \(\displaystyle n \) tendente a infinito.
Cos'è $n$?
"tmox":
Quindi, materialmente, gli integrali basilari sono stati ottenuti con metodi che permettessero di non contare a infinito, presumo.
Cosa intendi con "integrali basilari"? E con "contare a infinito"?
"tmox":
Allora mi sono detto, se prendo un perimetro quadrato di area nota e lo deformo a tal punto da produrre un tratto della funzione\(\displaystyle x^3 \), io conosco gia l'area sottesa.
E come?
"tmox":
Quindi la sommatoria che definisce l'integrale ha finalmente un certo risultato.
Che significa?
L'integrale non è una sommatoria.
"tmox":
Eseguendo questa procedura per le funzioni piú tipiche, possiamo calcolare l'integrale di qualunque funzione applicando i metodi di integrazione?
Quale procedura?
Finora hai solo chiacchierato, ma di "procedure" non c'è traccia...
"tmox":
Mi chiedevo appunto, se gli studi iniziali abbiano avuto questo decorso [...]
Sì e no... Ma più no.
"tmox":
[...] e se le regole di integrazione sottointendano la tecnica matematica che permette di calcolare qualunque integrale partendo da quelli "ricavati".
Ovviamente no, come sa qualsiasi studente di Analisi I.
Il metodo di esaustione non e' il calcolo integrale, non e' infatti un metodo di calcolo, ma un metodo dimostrativo, e' parente del principio di induzione, serve per dimostrare in modo rigoroso (i greci ci vedevano lontano col rigore) formule dedotte per altre vie. Le prime quadrature abbastanza generali (es $\int x^ndx=x^{n+1}/{n+1}$ come scriveremmo oggi) appaiono nelle opere di Wallis a meta' del Seicento, quindi prima di Newton, quest'ultimo ha infatti fondato alcune sue ricerche sulle opere di Wallis. Newton non introduce l'integrale, tratta solo il problema inverso del calcolo delle flussioni (derivate rispetto al tempo secondo la nomenclatura newtoniana) solo Leibniz piu' o meno negli stessi anni introduce il simbolo $\int$ per denotare l'operazione inversa della differenziazione. Per arrivare al nostro integrale definito bisogna aspettare Cauchy nell'Ottocento il quale introduce l'integrale definito poi detto "alla Cauchy" che assomiglia a quello di Riemann se non per il fatto che Cauchy suddivide l'intervallo ma poi sceglie uno dei due estremi dei subintervalli per fare l'area dei rettangoli, invece Riemann scegliera' inf e sup della funzione sui subintervalli creando somme inferiori e superiori le quali formano due classi contigue nei reali separate alla Dedekind, in caso di integrabilita', da un unico reale, detto integrale di Riemann.
@Luca Lussardi
Ti riferisci all'integrale di Mengoli-Cauchy[nota]Mengoli introdusse il concetto mentre Cauchy lo formalizzò in maniera rigorosa.[/nota]?
Questo è definito solo per funzioni continue mentre quello di Riemann si estende ad una certa classe di funzioni limitate (tra cui le funzioni continue).
Consiglio all'autore del post di leggere "Storia della Matematica" di Carl B. Boyer
Ti riferisci all'integrale di Mengoli-Cauchy[nota]Mengoli introdusse il concetto mentre Cauchy lo formalizzò in maniera rigorosa.[/nota]?
Questo è definito solo per funzioni continue mentre quello di Riemann si estende ad una certa classe di funzioni limitate (tra cui le funzioni continue).
Consiglio all'autore del post di leggere "Storia della Matematica" di Carl B. Boyer
Esatto, infatti la motivazione di Riemann era fondamentalmente quella di estendere l'integrazione alla Cauchy anche per le funzioni discontinue. Per altro faccio anche osservare che ai tempi non esisteva ancora la nozione di numero reale, quindi l'approccio alla Riemann, che richiede pesantemente la completezza dei reali, ha anche spinto finalmente alla cosiddetta aritmetizzazione dell'analisi, cioe' la costruzione rigorosa del continuo reale sui naturali.
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