Stime di integrali

[poncelet]

E' probabile che mi manchi qualche pezzo di teoria di Analisi I e II. En tout cas, pongo la mia questione:
nel calcolo degli integrali con la formula dei residui spesso ci si trova a stimare degli integrali al tendere di una variabile ad infinito. Per esempio, sia $C^{+}$ la semicirconferenza di raggio $R$ centrata nell'origine e contenuta nei primi due quadranti. Sia $t:[0, \pi] \to \mathbb{C} : t \mapsto Re^{it}$ la parametrizzazione di $C^{+}$. Supponiamo di voler valutare:
\[
\lim_{R \to +\infty}\int_{C^{+}}f(z)dz
\]
dove \[
f(z)=\frac{z^{4}}{(z^{2}+a^{2})^{4}}
\]
La stima dovrebbe essere la seguente
\[
\Bigg | \int_{C^{+}}\frac{z^{4}}{(z^{2}+a^{2})^{4}}dz \Bigg |=\Bigg |\int_{0}^{\pi}\frac{R^{4}e^{4it}}{(R^{2}e^{2it}+a^{2})^{4}}iRe^{it}dt\Bigg| \leq \int_{0}^{\pi}\frac{R^{5}}{|(R^{2}e^{2it}+a^{2})^{4}|}dt \leq \frac{\pi R^{5}}{(R^{2}-a^{2})^{4}} \to 0, R \to +\infty
\]
Volevo chiedere:
1) è giusta?
2) da dove esce l'ultima disuguaglianza?

[EDIT] $a>0$

[Quinzio]

Per la 2)
MI sembra di intuire che nel tentativo di minimizzare il denominatore
$1/|(R^2e^{2it}+a^2)^4|$
si ponga
$|(R^2e^{2it}+a^2)^4|<|(-R^2+a^2)^4|=|(R^2-a^2)^4|$

[Paolo902]

Minòra il denominatore dell'integrando usando la disuguaglianza triangolare: $|R^2 e^{2it}+a^2|>|R^2e^{2it}| - |-a^2| = R^2-a^2$.