Stimare il valore al quale un integrale converge

[Gio23121]

Ciao vorrei dei chiarimenti su questo esercizio.

Studiare la convergenza del seguente integrale improprio :

$ int_(1)^(infty) (x+2)/(x^3+10x^2+15x+9) dx $
Nel caso sia convergente calcolarlo.

Allora la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta in quanto il limite per x che tende ad infinito di f(x) è zero.
Inoltre in un intorno di infinito f(x) è asintotico ad $ 1/x^2 $ il cui integrale da 1 a +infinito converge ( ad 1 ).
Per calcolare il valore al quale l'integrale converge però non so come fare perchè l'integrale non riesco a risolverlo con il metodo dei fratti semplici.
Sbaglio forse a concludere che l'integrale è convergente?
O c'è un modo per quantomeno stimare il valore al quale converge ?
O poichè l'integrale di $1/x^2$ converge ad 1 allora anche quello di partenza converge ad 1 ?

[anto_zoolander]

Supponiamo di non saper calcolare l'integrale, ma vogliamo sapere se converge e entro quale range di valori converge
Intanto dobbiamo trovare una funzione che maggiori in $[1,+infty)$ la nostra.
A occhio si nota che qualcosa accadrà se considero $1/x^2$

$(x+2)/(x^3+10x^2+15x+9)leq1/x^2$

$((x^3+2x^2)-(x^3+10x^2+15x+9))/(x^3+10x^2+15x+9)leq0$

mi interessa sapere se il denominatore è sempre positivo, così da eliderlo felicemente.
Considero $f(x)=x^3+10x^2+15x+9$

la funzione ha un massimo in $x_M=(-10-sqrt55)/3$ e un minimo $x_m=(-10+sqrt55)/3$
con buona approssimazione con carta e penna, mi sono calcolato:

$x_m=-0,8666...$ dopo il minimo la funzione cresce e basta. Dunque se in $x=1$ la funzione sarà positiva, continuerà ad esserlo. Il che è ovvio poiché $f(1)$ è somma di positivi. Torniamo alla nostra disequazione.

$-8x^2-15x-9leq0 <=> 8x^2+15x+9geq0$

$Delta=225-288<0$ dunque la disequazione è vera $forallx in[1,+infty)$
Essendo vera, possiamo integrare ambo i membri.

$0leqint_(1)^(+infty)(x+2)/(x^3+10x^2+15x+9)dxleqint_(1)^(+infty)1/x^2dx$

$int_(1)^(+infty)1/x^2dx=[-1/x]_(1)^(+infty)=1$

dunque alla fine otteniamo che l'integrale converge, poiché quello che lo maggiora converge. Inoltre sappiamo pure che il nostro integrale:

$0leqint_(1)^(+infty)(x+2)/(x^3+10x^2+15x+9)dxleqint_(1)^(+infty)1/x^2dx=1$

ha un valore compreso tra $0$ e $1$.

[Gio23121]

Grazie mille per la risposta dettagliata