Stimare dal basso la norma del risolvente
Se [tex]A[/tex] è un operatore chiuso in uno spazio di Hilbert [tex]\mathfrak{H}[/tex] indichiamo con [tex]\rho(A), \sigma(A)[/tex] l'insieme risolvente e lo spettro, rispettivamente, di [tex]A[/tex]. Per ogni [tex]z \in \rho(A)[/tex] chiamiamo [tex]R_A(z)=(A-zI)^{-1}[/tex]: questo operatore è limitato e verifica le due identità del risolvente:
1) [tex]\forall z, z_0 \in \rho(A),\quad R_A(z)-R_A(z_0)=(z-z_0)R_A(z)R_A(z_0)[/tex];
2) se [tex]\lvert z-z_0 \rvert < \lVert R_A(z_0) \rVert^{-1}[/tex] allora [tex]z \in \rho(A)[/tex] e inoltre
[tex]$R_A(z)=\sum_{n=0}^\infty R_A(z_0)^{n+1}(z-z_0)^n[/tex] (la convergenza è rispetto alla norma solita degli operatori limitati).
E fin qui ci siamo. Ora però un libro che sto leggendo (Teschl, Mathematical Methods of Quantum Mechanics, §2.15) fa discendere da queste la disuguaglianza
(*) [tex]$\lVert R_A(z) \rVert \ge \text{dist}(z, \sigma(A))^{-1}[/tex]
al solito, senza dimostrazione (almeno lui non dice che "è facile", così da fare sentire il lettore un cretino; non lo dimostra e basta
).
E' possibile che sia molto banale, ma non riesco proprio a vederla questa disuguaglianza (*). Una mano, per favore?
1) [tex]\forall z, z_0 \in \rho(A),\quad R_A(z)-R_A(z_0)=(z-z_0)R_A(z)R_A(z_0)[/tex];
2) se [tex]\lvert z-z_0 \rvert < \lVert R_A(z_0) \rVert^{-1}[/tex] allora [tex]z \in \rho(A)[/tex] e inoltre
[tex]$R_A(z)=\sum_{n=0}^\infty R_A(z_0)^{n+1}(z-z_0)^n[/tex] (la convergenza è rispetto alla norma solita degli operatori limitati).
E fin qui ci siamo. Ora però un libro che sto leggendo (Teschl, Mathematical Methods of Quantum Mechanics, §2.15) fa discendere da queste la disuguaglianza
(*) [tex]$\lVert R_A(z) \rVert \ge \text{dist}(z, \sigma(A))^{-1}[/tex]
al solito, senza dimostrazione (almeno lui non dice che "è facile", così da fare sentire il lettore un cretino; non lo dimostra e basta
). E' possibile che sia molto banale, ma non riesco proprio a vederla questa disuguaglianza (*). Una mano, per favore?
Risposte
Con [tex]\text{dist}[/tex] si intende una cosa del tipo
[tex]\text{dist}(z, \sigma(A)) = \text{Inf}\{|z-x| , x \in \sigma(A)\}[/tex]
???
[tex]\text{dist}(z, \sigma(A)) = \text{Inf}\{|z-x| , x \in \sigma(A)\}[/tex]
???
Si, esatto.
Questo non funziona però magari ti da uno spunto...
Siccome
[tex]1 = \lVert A A^{-1} \rVert \le \lVert A \rVert \lVert A^{-1} \rVert[/tex] cioè [tex]\lVert A^{-1} \rVert \geq \lVert A \rVert^{-1}[/tex]
nel caso del risolvente questo diventa
[tex]\lVert R_A(z) \rVert \geq \frac{1}{\lVert A - zI \rVert}[/tex]
e se si riuscisse a dimostrare che
[tex]\lVert A - zI \rVert \leq \text{dist}(z,\sigma(A))[/tex]
avremmo fatto....il problema è che non riesco a farlo...e sinceramente dubito pure che sia vero...
Poi spulciando un po' nel libro Quantum Mechanics di A. Messiah ho trovato la laconica affermazione
ovviamente senza dimostrazione....spero ti sia di aiuto anche se ne dubito....
Siccome
[tex]1 = \lVert A A^{-1} \rVert \le \lVert A \rVert \lVert A^{-1} \rVert[/tex] cioè [tex]\lVert A^{-1} \rVert \geq \lVert A \rVert^{-1}[/tex]
nel caso del risolvente questo diventa
[tex]\lVert R_A(z) \rVert \geq \frac{1}{\lVert A - zI \rVert}[/tex]
e se si riuscisse a dimostrare che
[tex]\lVert A - zI \rVert \leq \text{dist}(z,\sigma(A))[/tex]
avremmo fatto....il problema è che non riesco a farlo...e sinceramente dubito pure che sia vero...
Poi spulciando un po' nel libro Quantum Mechanics di A. Messiah ho trovato la laconica affermazione
If [tex]\Delta(z)[/tex] is the square of the distance from [tex]z[/tex] to the closest eigenvalue of [tex]A[/tex] then we have
[tex]\lVert R_A(z) \rVert = \frac{1}{\Delta(z)}[/tex]
ovviamente senza dimostrazione....spero ti sia di aiuto anche se ne dubito....
@alle.fabbri: Ti ringrazio per l'interessamento! Una cosa: la proposizione che citi dal Messiah che ipotesi richiede su $A$? Penso ci voglia che sia autoaggiunto, almeno. E per "eigenvalue" cosa si intende, un autovalore o un valore spettrale (nei libri di matematica sono cose diverse)?
Hai ragione, $A$ deve essere autoaggiunto, perchè lui dice che la cosa vale per il risolvente di un'osservabile. Spero che questo risponda anche all'altra domanda...non so cosa siano i valori spettrali.
Eureka! Incredibile quanto fosse banale. 
Fissiamo [tex]z_0[/tex] valore regolare.
Se [tex]\lvert z-z_0 \rvert < (\lVert R_A(z_0) \rVert)^{-1}\ \Rightarrow\ z\in \rho(A)[/tex] allora lo spettro deve distare da [tex]z_0[/tex] più di [tex](\lVert R_A(z_0) \rVert)^{-1}[/tex].
In formule
[tex]\lVert R_A(z_0) \rVert ^{-1} \le \mathrm{dist}(z_0, \sigma(A))[/tex]
quindi
[tex]\lVert R_A(z_0) \rVert \ge \mathrm{dist}(z_0, \sigma(A))^{-1}[/tex]
Fine.
Fissiamo [tex]z_0[/tex] valore regolare.
Se [tex]\lvert z-z_0 \rvert < (\lVert R_A(z_0) \rVert)^{-1}\ \Rightarrow\ z\in \rho(A)[/tex] allora lo spettro deve distare da [tex]z_0[/tex] più di [tex](\lVert R_A(z_0) \rVert)^{-1}[/tex].
In formule
[tex]\lVert R_A(z_0) \rVert ^{-1} \le \mathrm{dist}(z_0, \sigma(A))[/tex]
quindi
[tex]\lVert R_A(z_0) \rVert \ge \mathrm{dist}(z_0, \sigma(A))^{-1}[/tex]
Fine.
Ci avevo pensato anche io in effetti ma poi l'avevo scartata perchè non capisco come faccia a spuntare l'uguale e perchè puoi dire
"dissonance":
Se [tex]\lvert z-z_0 \rvert < (\lVert R_A(z_0) \rVert)^{-1}\ \Rightarrow\ z\in \rho(A)[/tex] allora lo spettro deve distare da [tex]z_0[/tex] più di [tex](\lVert R_A(z_0) \rVert)^{-1}[/tex]
Se ti fai un disegno lo vedi facilmente. Nell'interno del cerchio di centro $z_0$ e raggio$||R_A(z_0)||^{-1}$ non ci possono essere elementi dello spettro, quindi l'elemento spettrale più vicino a $z_0$ deve trovarsi a distanza $>=||R_A(z_0)||^{-1}$. Questo è tutto.
E' proprio quello il punto che non capisco. Perchè posso dire che dentro al cerchio in questione non ci sono elementi dello spettro....???
Fa parte della tesi del teorema di cui al primo post. In pratica se $z$ è abbastanza vicino a $z_0$ la serie $sum R_A(z_0)^{j+1}(z-z_0)^j$ converge ad un operatore limitato che si dimostra essere proprio il risolvente. Puoi trovare tutti i dettagli sul libro di Teschl, che tra l'altro è disponibile per il download qui, pagina 75.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo